6.2. Стратегическое планированиемашинных

ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ

Применяя системный подход к проблеме планирования машин­ных экспериментов с моделями систем, можно выделить две состав­ляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование [46].

Стратегическое планирование ставит своей целью решение зада­чи получения необходимой информации о системе S с помощью модели М_м, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений на ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора. По своей сути стратегическое планирование аналогично внешнему проекти­рованию при создании системы S, только здесь в качестве объекта выступает процесс моделирования системы.

Тактическое планирование представляет собой определение спо­соба проведения каждой серии испытаний машинной модели М_м, предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планиро­вания также имеется аналогия с внутренним проектированием си­стемы S, но опять в качестве объекта рассматривается процесс работы с моделью М_ы.

Проблемы стратегического планирования. При стратегическом планировании машинных экспериментов с моделями систем воз­никает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностями функционирования моделируемого объекта (системы S), так и с осо­бенностями машинной реализации модели М_ы и обработки резуль­татов эксперимента. В первую очередь к таким относятся пробле­мы построения плана машинного эксперимента; наличия большого количества факторов; многокомпонентной функции реакции; стоха­стической сходимости результатов машинного эксперимента; огра­ниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.

Рассмотрим существо этих проблем, возникающих при стратеги­ческом планировании машинных экспериментов, и возможные ме­тоды их решения. При построении плана эксперимента необходимо помнить, что целями проведения машинных экспериментов с моде­лью М_м системы S являются либо получение зависимости реакции от факторов для выявления особенностей изучаемого процесса фун­кционирования системы S, либо нахождение такой комбинации значений факторов, которая обеспечивает экстремальное значение реакции. Другими словами, экспериментатору на базе машинной одели М_m необходимо решить либо задачу анализа, либо задачу синтеза системы S [7, 17, 33, 46].

Очевидно, что при реализации полного факторного плана раз­личия между машинными экспериментами для достижения той или иной цели стираются, так как оптимальный синтез сводится к выбо­ру одного из вариантов, полученного при полном факторном ана­лизе. Но полный факторный эксперимент эквивалентен в этом случае полному перебору вариантов, что нерационально с точки зрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного (с точки зрения затрат машинного времени и памяти на моделирова­ние) нахождения оптимальной комбинации уровней факторов мож­но воспользоваться выборочным методом определения оптимума поверхности реакции (систематическая или случайная выборка), методы систематической выборки включают в себя, факторный (метод равномерной сетки), одного фактора, предельного анализа, наиско­рейшего спуска. Выбор того или иного метода рационально прово­дить на основе априорной информации о моделируемой системе S.

Другая специфическая проблема стратегического планирования машинных экспериментов — наличие большого количества факто­ров. Это одна из основных проблем реализации имитационных моделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализе количество комбинаций факторов равно произведению числа значе­ний всех факторов эксперимента. Например, если число факторов к-10 и имеется два значения каждого фактора, т. е. q_t=2, то полный факторный анализ потребует моделирования 2^k=2¹⁰ = 1024 комбинаций. Если факторы х_i i=1, к, являются количественными, а реакция у связана с факторами некоторой функцией ф, то в качест­ве метода обработки результатов эксперимента может быть выбран регрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полный факторный анализ, то проблема большого количества факторов может не иметь решения. Достоинством полных факторных планов является то, что они дают возможность отобразить всю поверх­ность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффек­тивность этого метода существенно зависит от природы поверх­ности реакции.

Так как полные факторные планы изучения даже достаточно простых моделей приводят к большим затратам машинного времени, то приходится строить неполные факторные планы, требующие меньшего числа точек, приводя при этом к потере допустимого количества информации о характере функции реакции. В этом случае рациональный подход — построение плана эксперимента исходя из поверхности реакции (план поверхности реакции), что позволяет по сравнению с факторными планами уменьшить объем эксперимента без соответствующих потерь количества получаемой информации. Методы поверхности реакции позволяют сделать некоторые выводы из самых первых экспериментов с машинной моделью М_м. Если дальнейшее проведение машинного эксперимента оказывается неэкономичным, то его можно закончить в любой момент. Наконец, эти методы используются на начальном этапе постановки эксперимента для определения оптимальных условий моделирования исследуемой системы S.

Следующей проблемой стратегического планирования машин­ных экспериментов является многокомпонентная функция реакции. В имитационном эксперименте с вариантами модели системы S на этапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необ­ходимостью изучения большого числа переменных реакции. Эту трудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитацион­ный эксперимент с моделью по определению многих реакций как несколько имитационных экспериментов, в каждом из которых исследуется (наблюдается) только одна реакция. Кроме того, при исследовании системы 5 часто требуется иметь переменные реак­ции, связанные друг с другом, что практически приводит к усложне­нию планирования имитационного эксперимента. В этом случае рационально использовать интегральные оценки нескольких реак­ций, построенные с использованием весовых функций, функций полезности и т. д. [10, 18, 21, 46].

Существенное место при планировании экспериментов с имита­ционными моделями, реализуемыми методом статистического мо­делирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимо­сти результатов машинного эксперимента. Эта проблема возникает вследствие того, что целью проведения конкретного машинного эксперимента при исследовании и проектировании системы S явля­ется получение на ЭВМ количественных характеристик процесса функционирования системы S с помощью машинной модели М_ы. В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средние некоторых распределений, для оценки которых применяют выбо­рочные средние, найденные путем многократных прогонов модели на ЭВМ, причем, чем больше выборка, тем больше вероятность того, что выборочные средние приближаются к средним распреде­лений. Сходимость выборочных средних с ростом объема выборки называется стохастической сходимостью.

Основной трудностью при определении интересующих харак­теристик процесса функционирования системы S является медлен­ная стохастическая сходимость. Известно, что мерой флуктуации случайной величины служит ее нестандартное отклонение. Если а — стандартное отклонение одного наблюдения, то стандартное отклонение среднего N наблюдений будет равно σ/√N. Таким образом, для уменьшения случайной ошибки в К раз требуется увеличить объем выборки в К² раз, т. е. для получения заданной точности оценки может оказаться, что объем необходимой выборки нельзя получить на ЭВМ из-за ограничения ресурса времени и па­мяти.

Медленная стохастическая сходимость в машинных имитацион­ных экспериментах с заданной моделью М_м требует разработки специальных методов решения этой проблемы. Необходимо учиты­вать, что в машинном эксперименте после того, как модель сфор­мулирована, включение дополнительных факторов для повышения точности невозможно, так как это потребует изменения конструк­ции модели М_ы. Основная идея ускорения сходимости в машинных экспериментах со стохастическими моделями состоит в использова­нии априорной информации о структуре и поведении системы S, свойствах распределения входных переменных и наблюдаемых слу­чайных воздействий внешней среды Е. К методам ускорения сходи­мости относятся методы регрессионной выборки, дополняющей переменной, расслоенной выборки, значимой выборки [10, 18, 21,

Переходя к рассмотрению проблемы ограниченности машинных ресурсов на проведение экспериментов с моделью системы S, необ­ходимо помнить о том, что построение плана эксперимента с ис­пользованием различных подходов, рассмотренных в § 6.1, позволя­ет решить проблему стратегического планирования только с те­оретической точки зрения. Но при планировании машинных экс­периментов на практическую реализуемость плана существенное влияние оказывают имеющиеся в распоряжении экспериментатора ресурсы. Поэтому планирование машинного эксперимента предста­вляет собой итерационный процесс, когда выбранная модель плана эксперимента проверяется на реализуемость, а затем, если это необ­ходимо, вносятся соответствующие коррективы в исходную модель [46].

Этапы стратегического планирования. Применяя системный под­ход к проблеме стратегического планирования машинных экспери­ментов, можно выделить следующие этапы: 1) построение структу­рной модели; 2) построение функциональной модели. При этом структурная модель выбирается исходя из того, что должно быть сделано, а функциональная — из того, что может быть сделано.

Структурная модель плана эксперимента характеризуется числом факторов и числом уровней для каждого фактора. Число элементов эксперимента

где к — число факторов эксперимента; q_i — число уровней i-го фак­тора, i=l, k. При этом под элементом понимается структурный блок эксперимента, определяемый как простейший эксперимент в случае одного фактора и одного уровня, т. е. к= 1, q= 1, N_c= 1.

Вопрос о виде и числе необходимых факторов следует рассмат­ривать с различных точек зрения, причем основной является цель проводимого машинного эксперимента, т. е. в первую очередь решается вопрос о тех реакциях, которые надо оценить в результате эксперимента с машинной моделью М_ы системы S. При этом надо найти наиболее существенные факторы, так как из опыта известно, что для большинства систем 20% факторов определяют 80% свойств системы S, а остальные 80% факторов определяют лишь 20% ее свойств [46].

Следующий шаг в конструировании структурной модели плана состоит в определении уровней, на которых следует устанавливать и измерять каждый фактор, причем минимальное число уровней фактора, не являющегося постоянным, равно двум. Число уровней следует выбирать минимальным, но достаточным для достижения цели машинного эксперимента. При этом надо помнить, что каж­дый дополнительный уровень увеличивает затраты ресурсов на реализацию эксперимента на ЭВМ.

Анализ результатов существенно упрощается, если уровни равноотстоят друг от друга, т. е. ортогональное разбиение упрощает определение коэффициентов аппроксимации. Можно получить зна­чительные аналитические упрощения, если принять число уровней всех факторов одинаковым. Тогда структурная модель будет сим­метричной и примет вид N_c=q , где q=qi, i— 1, k.

Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели N_ф, т. е. необходимое число различных информационных точек. При этом функциональная модель может быть полной и неполной. Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют все элементы, т. е. N_ф = N_c, и неполной, если число реакций меньше числа элементов, т. е. N_ф < N_c. Основная цель построения функциональной модели - нахождение компромисса между необходимыми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурной модели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методом моделирования.

Для более быстрого нахождения компромиссного решения можно при предварительном планировании машинного эксперимента использовать номограмму, построенную при варьировании числа факторов k, числа уровней факторов q, повторений эксперимента р, а также затрат времени на прогон модели τ и стоимости машинного времени с. Вид такой номограммы показан на рис. 6.4, причем при ее построении предполагалось, что полное число прогонов, необходимых при симметрично повторяемом эксперименте,

Рассмотрим особенности пользования такой номограммой на Mepe.

примере.

Пример 6.5. Пусть необходимо спланировать машинный эксперимент при наличии трех факторов k = 3, каждый из которых имеет три уровня q = 3, причем требуется р = 15 повторений с затратами τ = 120 с машинного времени на один прогон при стоимости 1 ч машинного времени с = 100 руб. Кроме того, предполагается, что в день на моделирование данной системы S выделяется 60 мин машинного времени, т. е. на моделирование требуется k = Nτ/3600 дней. Такой машинный эксперимент потребует около 400 прогонов, затрат примерно τ_∑ = 13 ч машинного времени, около T_k = 13 дней на получение результатов моделирования и 1304 руб. для оплаты машинного времени.

Сравним случай, рассмотренный в примере, при условии, что число уровней факторов уменьшено до двух, т. е. q = 2. Такой машинный эксперимент потребует только 135 прогонов; 4,5 ч машинного времени; 4,5 дня на получение результатов и всего 450 руб. затрат для оплаты машинного времени, т. е. имеет место сокращение затрат на 265%.

Такая номограмма (рис. 6.4) может быть использована и для других входов, например при фиксированной величине денежных средств, отводимых на машинный эксперимент.

Для более детального анализа имеющихся у экспериментатора возможностей при планировании эксперимента рассмотрим попарно относительное влияние числа факторов k, числа уровней q и числа повторений р на количество необходимых машинных прогонов модели N. Предполагая эти величины непрерывными, проанализируем, какая из трех величин дает наибольшее сокращение полного количества прогонов. Для этого продифференцируем уравнение (6.4):

Из этих уравнений видно, что: 1) если kp > q и k > q ln q, то доминирует (оказывает наибольшее влияние на число машинных прогонов N) изменение числа уровней q; 2) если kp > q и k > q ln q, то доминирует число факторов k; 3) если p < q и p ln q < 1, то доминирует число повторений р.

Такой анализ позволяет дать наглядную графическую интерпретацию определения доминирующей для данного машинного эксперимента с моделью системы S переменной: k, q или р. Графически изобразим уравнения (6.5). На рис. 6.5, а приведен график отношения (q ln q)/k как функции числа уровней q при изменении числа факторов k от 1 до 5. Если отношение (q ln q)/k > 1 при данных k и q, то доминирует число факторов k. Если это отношение меньше 1, то доминирует число уровней q.

На рис. 6.5, б приведен график зависимости отношения q/(kp) от числа уровней q для величин произведений kp в пределах от 1 до 5. Если в данном случае q/(kp) > 1, то доминирует число повторений р, а если q/(kp) < 1, то доминирует число уровней q.

На рис. 6.5, в показан график зависимости отношений 1/(p ln q) от числа уровней q для числа повторений р, изменяющихся в пределах от 1 до 10. Если 1/(р ln q) > 1, то доминирует число повторений р, а если 1/(p ln q) < 1, то доминирует число факторов k.

Пример 6.6.Пусть при составлении плана машинного эксперимента требуется оценить, какая переменная играет доминирующую роль в сокращении полного числа машинных прогонов модели N при k = 4, q = 3, p = 3. Воспользуемся рис. 6.5, а: для q = 3 и k = 4 отношение (q ln q) k < 1, т. е. число уровней q доминирует над числом факторов k. Исходя из рис. 6.5, б, для q = 3, kp = 8 имеем q/(kp) < 1, т. е. число уровней q доминирует над числом повторений р. И наконец, воспользовавшись рис. 6.5, в, видим, что для q = 3 и р = 2 отношение 1/(р ln q) < 1, т. е. число факторов k доминирует над числом повторений р.

Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов с М_м структурных и функциональных моделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов на моделирование системы S.