7.2. Анализ и интерпретация результатов

МАШИННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Возможность фиксации при моделировании системы S на ЭВМ значений переменных (параметров) и их статистическая обработка для получения интересующих экспериментатора характеристик по­зволяют провести объективный анализ связей между этими вели­чинами. Для решения этой задачи существуют различные методы, зависящие от целей исследования и вида получаемых при модели­ровании характеристик. Рассмотрим особенности использования методов корреляционного, регрессионного и дисперсионного анали­за для результатов моделирования систем [7, 11, 18, 21, 25, 46].

Корреляционный анализ результатов моделирования. С помощью корреляционного анализа исследователь может установить, насколь­ко тесна связь между двумя (или более) случайными величинами, наблюдаемыми и фиксируемыми при моделировании конкретной системы S. Корреляционный анализ результатов моделирования сводится к оценке разброса значений η относительно среднего значе­ния у, т. е. к оценке силы корреляционной связи. Существование этих связей и их тесноту можно для схемы корреляционного анали­за у=М[η 1ξ=х] выразить при наличии линейной связи между ис­следуемыми величинами и нормальности их совместного распреде­ления с помощью коэффициента корреляции

т. е. второй смешанный центральный момент делится на произведе­ние средних квадратичных отклонений, чтобы иметь безразмерную величину, инвариантную относительно единиц измерения рассмат­риваемых случайных переменных.

Пример 7.1. Пусть результаты моделирования получены при N реализациях, а коэффициент корреляции

Очевидно, что данное соотношение требует минимальных затрат машинной памяти на обработку результатов моделирования. Получаемый при этом коэффици­ент корреляции |r ηξ≤|1. При сделанных предположениях r ηξ = 0 свидетельствует о взаимной независимости случайных переменных ξ и η исследуемых при моделиро­вании (рис. 7.1, а). При |r ηξ | = 1 имеет место функциональная (т. е. нестохастическая) линейная зависимость вида у=b₀ + b1х, причем если r ηξ>0, то говорят о положитель­ной корреляции, т. е. большие значения одной случайной величины соответствуют большим значениям другой (рис. 7.1, б). Случай 0<r ηξ <1 соответствует либо наличию линейной корреляции с рассеянием (рис. 7.1, в), либо наличию нелинейной корреляции результатов моделирования (рис. 7.1, г).

Для того чтобы оценить точность полученной при обработке результатов моделирования системы 5 оценки rξ η целесообразно ввести в рассмотрение коэффициент w=ln[(l+r η )/(l —r η)]/2, при­чем w приближенно подчиняется гауссовскому распределению со средним значением и дисперсией:

Из-за влияния числа реализаций при моделировании N на оценку 1 коэффициента корреляции необходимо убедиться в том, что 0 ≤ r η ≤ 1 действительно отражает наличие статистически значимой корреляционной зависимости между исследуемыми переменными модели М_м. Это можно сделать проверкой гипотезы H_о: r η_ξ =0. Если гипотеза Н_о при анализе отвергается, то корреляционную зависи­мость признают статистически значимой. Очевидно, что выборочное распределение введенного в рассмотрение коэффициента w при rξη,=0 является гауссовским с нулевым средним μ_w=0 и дисперсией σ²=(N— З)- ¹. Следовательно, область принятия гипотезы Н_о опре­деляется неравенством

Где z_a2 подчиняется нормированному гауссовскому распределению. Если rξη лежит вне приведенного интервала, то это означает наличие корреляционной зависимости между переменными модели на уров­не значимости у.

При анализе результатов моделирования системы 5 важно от­метить то обстоятельство, что даже если удалось установить тесную зависимость между двумя переменными, то отсюда еще непосредственно не следует их причинно-следственная взаимообусловленность. Возможна ситуация, когда случайные ξ и η стохастически зависимы, хотя причинно они являются для системы 5 независимы-: ми. При статистическом моделировании наличие такой зависимо­сти может иметь место, например, из-за коррелированности после­довательностей псевдослучайных чисел, используемых для имита­ции событий, положенных в основу вычисления значений х и у.

Таким образом, корреляционный анализ устанавливает связь между исследуемыми случайными переменными машинной модели и оценивает тесноту этой связи. Однако в дополнение к этому желательно располагать моделью зависимости, полученной после обработки результатов моделирования.

Регрессионный анализ результатов моделирования. Регрессионный анализ дает возможность построить модель, наилучшим образом соответствующую набору данных, полученных в ходе машинного эксперимента с системой S. Под наилучшим соответствием понимается минимизированная функция ошибки, являющаяся разностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента. Такой функцией ошибки при регрессионном анализе служит сумма квадратов ошибок.

Пример 7.2. Рассмотрим особенности регрессионного анализа результатов моделирования при построении линейной регрессионной модели. На рис. 7.2, а показаны точки x_i, y_i, i = 1, N, полученные в машинном эксперименте с моделью М_м системы S.

Делаем предположение, что модель результатов машинного эксперимента графически может быть представлена в виде прямой линии

ŷ = φ (х) = b₀ + b₁ x,

где ŷ - величина, предсказываемая регрессионной моделью.

Требуется получить такие значения коэффициентов b₀ и b₁, при которых сумма квадратов ошибок является минимальной. На рисунке ошибка е₁, i = 1, N, для каждой экспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точки до линии регрессии у = φ (х).

Обозначим ŷ_i = b₀ + b₁x_i, i = 1, N. Тогда выражение для ошибок будет иметь вид

Решая систему этих двух линейных алгебраических уравнений, можно получить значения b_а и b₁ В матричном представлении эти уравнения имеют вид

где N — число реализаций при моделировании системы.

Соотношения для вычисления b_о и b_х требуют минимального объема памяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибки регрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение

Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находится в пределах одного отклонения а_е от линии регрессии и 95% — в пределах 2 σ_е (трубки. А я В соответственно на рис. 7.2, б). Для проверки точности оценок b₀ и b₁, регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (F-распределенное) и Стьюдента ((-распределение). Аналогично могут быть оценены коэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации.

Дисперсионный анализ результатов моделирования. При обработке и анализе результатов моделирования часто возникает задача сравнения средних выборок. Если в результате такой проверки окажется, что математическое ожидание совокупностей случайных переменных {у⁽¹⁾} , {у⁽²⁾}, ..., {y⁽ⁿ⁾} отличается незначительно, то статистический материал, полученный в результате моделирования, можно считать однородным (в случае равенства двух первых моментов). Это дает возможность объединить все совокупности в одну и позволяет существенно увеличить информацию о свойствах исследуемой модели М_м, а следовательно, и системы S. Попарное использование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдента для проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличием большого числа выборок при моделировании системы. Поэтому для этой цели используется дисперсионный анализ.

Пример 7.3. Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработке результатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральные совокупности случайной величины {у⁽¹⁾}, {у⁽²⁾}, ..., {y⁽ⁿ⁾} имеют нормальное распределение и одинаковую дисперсию. Необходимо по выборочным средним значениям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н₀ о равенстве математических ожиданий. Выявим влияние на результаты моделирования только одного фактора, т. е. рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.

Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной

где y - среднее арифметическое значение величины Y.

Если генеральная дисперсия D[у] известна, то для оценки случайности разброса наблюдений необходимо сравнить D[y] с выборочной дисперсией S²_в, используя критерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение F_э попадает в критическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значений x - неслучайным. Если генеральная дисперсия D[х] до проведения машинного эксперимента с моделью М_м неизвестна, то необходимо при моделировании найти ее оценку.

Пусть серия наблюдений на уровне у_i, имеет вид у_i1, y_i2, ..., y_in, где n - число повторных наблюдений на i-м уровне. Тогда на i-м уровне среднее значение наблюдений

а среднее значение наблюдений по всем уровням

Общая выборочная дисперсия всех наблюдений

При этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайных причин и фактора х. Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложить общую дисперсию D [у] на составляющие, связанные со случайными и неслучайными причинами.

Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,

Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе средних значений на i-м уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) для средних значений в n раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем более точную оценку выборочной дисперсии:

Умножив обе части этого выражения на п, получим в правой части выборочную дисперсию S²_b, имеющую (k - 1)-ю степень свободы. Влияние фактора х будет значимым, если при заданном γ выполняется неравенство S̃²_b/D̃₀[y] > F_{1 - γ}. В противном случае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и считать нулевую гипотезу Н₀ о равенстве средних значений на различных уровнях справедливой.

Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо проверки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборок проводить при обработке результатов моделирования проверку нулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральной дисперсий.

Возможны и другие подходы к анализу и интерпретации результатов моделирования, но при этом необходимо помнить, что их эффективность существенно зависит от вида и свойств конкретной моделируемой системы S.