7.4. Композитный брус

Брус, состоящий из различных материалов, называется композитным. Будем полагать, что соединение материалов по всей длине бруса обеспечивает их совместную работу. При этом сече­ния остаются плоскими, а линейная деформация отдельного волок­на равномерная. Чтобы сохранить эти предположения для торцевых сечений, нагрузку можно осуществить, например, через жесткую обойму. Рассмотрим брус, состоящий из различных материалов на рис.7.3, а. При постоянстве деформации ε_х напряжения распре­деляются по сечению неравномерно на рис.7.3, б, что объясняется различием модулей продольной упругости составляющих материа­лов. Очевидно,

откуда

Тогда

Рис. 7.3 т.е. напряжения распределя­ются прямо про-

порционально модулям упругости.

При определении переме­щений и удлинений можно использовать формулы для

одно­родного бруса с заменой ЕА на

7.5. Поверочные и проектные расчеты

Смысл поверочного расчета по методу допускаемых напряже­ний состоит в сопоставлении фактических напряжений в опасном сечении бруса с допускаемыми:

.

Здесь и в дальнейших поверочных и проектных расчетах внут­ренние усилия берутся по модулю. Это неравенство называется условием безопасной прочности при растяжении (сжатии).

Фактические напряжения не должны отклоняться от допускае­мых более, чем на 5%. Большее перенапряжение недопустимо с точ­ки зрения безопасной прочности, а недонапряжение приводит к пе­рерасходу материала.

Обратные задачи решаются при заданном допускаемом напряжении. В первом случае заданными считаются также размеры поперечного сечения, а определяется допускаемая продольная сила:

Во втором случае при известной нагрузке определяется пло­щадь поперечного сечения

после чего вычисляют его размеры. Если их количество больше единицы, необходимы дополнительные соотношения между ними (на­пример, отношение высоты прямоугольника к ширине).

Наиболее экономичным является брус равного сопротивления. Он имеет переменную по длине площадь поперечного сечения, по­добранную так, что напряжения во всех сечениях одинаковы: σ_x = σ_adm.

В озьмем брус, подверженный растяжению силой F и собственным весом (рис. 7.4). Площадь нижнего сече­ния А₀ определяется из условия F/А₀= σ_adm:

A₀ = F/ σ_adm.

Чтобы установить закон изменения площади сечения по высоте бруса, возьмем два смеж­ных сечения. Приращение площади dA(x) при переходе от одного сечения к другому дол­жно воспринять вес ρgA(x)dx элемента бруса между сече-ниями при том же напряжении:

Рис. 7.4

откуда

После интегрирования получаем

Подставим значение А(х) = А_о при х = 0:

ln А₀+ С = 0, и С = – ln A₀.

Окончательно

А(х) = A₀exp[(ρgx)/σ_adm] .

Криволинейность границы бруса удорожает его изготовление. На практике чаще применяют стержни ступенчатые или в виде усеченного конуса.

Приведенный проектный расчет является приближенным. Пред­полагалось, что по всему сечению бруса передаются только нор­мальные напряжения; на самом деле у краев сечения напряжения будут направлены по касательной к боковой поверхности.

Установлено, что формулу напряжений для бруса постоянного сечения можно применять с достаточной точностью для бруса пе­ременного сечения, если угол конусности α ≤ 12º.

Важно заметить, что, рассматривая условия безопасной проч­ности, мы не предполагали отклонения от определенной начальной формы равновесия стержня. Эта проблема будет рассматриваться в гл. 13.

Помимо условия прочности, требуется выполнение условия жесткости:

N/(EA) ≤ ε_adm.

Решения обратных задач имеют вид:

N_adm ≤ EA ε_adm , A ≥ N/( E ε_adm) , E ≥ N/( A ε_adm).

Легко заметить, что первые две формулы в случае совпадения величин Eε_adm и σ_adm будут тождественны соответствующим форму­лам, полученным из условия прочности, а в случае несовпадения –отличаться на постоянный множитель. Третья формула определяет новый тип проектной задачи – подбор материала с необходимыми упругими свойствами.

При расчете по предельным состояниям вместо σ_adm принима­ются расчетные сопротивления растяжению (R_t) или сжатию (R_c).