13.3. Влияние способа закрепления концов стержня на критическую силу

На рис. 13.4 показаны другие случаи закрепления концов стержня. Каждую из этих задач можно решать по плану, реализованному для шарнирно опертого стержня. В то же время решение можно получить путем сопоставления изгиба шарнирно опертого стержня с изгибом стержня при другом закреплении его концов (штриховые линии на рис. 13.4) Обобщенная формула:

содержит так называемый коэффициент приведенной длины μ.

Приведенная (свободная) длина l₀ = μl может быть истолкована как некоторая условная длина однопролетного стержня, критическая сила которого при шарнирном закреплении его концов такая же, как для заданного стержня. Понятие о приведенной длине впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским в 1892 г.

Рис. 13.4

Исследования показали, что местные ослабления (заклепочные отверстия, уменьшение сечения за счет врубок и т.п.) существенно не влияют на величину критической силы. Поэтому в формулу для F_cr входит момент инерции I_br площади сечения без учета ослабления A_br (брутто). При вычислении критического напряжения также используется A_br:

где – гибкость стержня (радиус инерции берется минимальный).

Вследствие использования линейного физического закона формулы для критической силы справедливы в том случае, когда напряжения σ_cr не превышают предела пропорциональности σ_pr . Из условия σ_cr = σ_pr определяется предельная гибкость λ_lim, при которой формулы еще применимы:

λ _lim

Для стали с σ_pr = 200 МПа и

Е = 2,1·10⁵МПа λ_lim ≈ 100, для чугуна λ_lim ≈ 80, для дерева λ_lim ≈ 110.

При гибкостях λ < λ₁ (для стали Ст.3 λ₁=40) стержни можно рассчитывать на прочность без учёта опасности потери ус-тойчивости (рис. 13.5, зона I). Для этого случая критическими являются напряже-

ния, соответствующие предельным

Рис. 13.5 (σ_cr=σ_y).

Использование формулы Эйлера за пределами её применимости (λ < λ_lim) приводит к завышенному расчётному значению критических напряжений, следовательно к грубым ошибкам, что чревато потерей устойчивости стержня и разрушением конструкции.

При λ < λ_lim формулы становятся неприменимыми. В этом случае используют эмпирическую формулу Тетмайера − Ясинского (рис. 13.5, зона II):

σ_cr = а – bλ ,

где а и b – коэффициенты, зависящие от материала. Для стали Ст.3 при гибкостях λ = 40…100 коэффициенты а и b принимаются равными: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

13.4. Подбор сечения по условиям безопасной устойчивости

Условие устойчивости равновесия записывается либо в напряжениях: σ ≤ σ_{s adm} , либо в нагрузках: F ≤ F_{s adm} , где σ_{s adm} и F_{s adm} – допускаемые напряжение и нагрузка по условиям безопасной устойчивости; при этом

σ_{s adm} = σ_cr / n_s, F_{s adm} = F_cr / n_s ,

где n_s – коэффициент запаса устойчивости, который равен или превосходит коэффициент запаса прочности n (отклонения от проекта конструкции в отношении формы стержня, линии действия нагрузки уменьшают критическую нагрузку и σ_cr , но почти не влияют на прочность конструкции).

Исходя из использования сопротивления системы в целом, принимают условия устойчивости равновесия в нагрузках. В отдельных случаях это равнозначно принятию условия устойчивости равновесия в напряжениях. Для центрально сжатой стойки допустимая нагрузка

F_{s adm} = (π²EI_min)/(μ²l²n_s),

откуда при заданных значениях n_s, E, l и вычисленном значении μ можно найти I_min. Рациональным считается сечение, у которого I_min = I_max (при μ_y = μ_z).

Установим связь между допускаемым напряжением на устойчивость и величиной σ_adm:

σ_{s adm} / σ_adm = (σ_cr n)/( σ_b n_s) = φ.

Учитывая, что σ_cr < σ_b, а n ≤ n_s устанавливаем, что φ<1. Величина φ есть коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней (коэффициент продольного изгибa). Имея зависимость σ_cr~ λ для данного материала, зная σ_adm и выбрав n_s, можно составить таблицы значений φ в функции от гибкости λ.

В связи с зависимостью φ от формы и размеров сечения подбор сечения по условиям устойчивости σ ≤ φσ_adm ведется путем последовательных прибли-жений. Выбираем форму сечения и задаемся его размерами (или при-мерным значением φ, например, φ₁= 0,5); вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость; находим по таблице коэффициент φ₁' и вычисляем σ_{s adm} = φ₁' σ_adm; сравниваем действительное напряжение σ с полученной величиной σ_{s adm}; если условие устойчивости не удовлетворено или удовлетворено с большим запасом (разница между σ и σ_{s adm} не должна превышать 3 – 5%), меняем размеры сече-ния (задаемся новым значением φ₂, равным среднему арифметическому величин φ₁ и φ₁') и повторяем расчет. Окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности: σ ≤ σ_adm.