6.4 Методы выявления основной тенденции (тренда) в рядах динамики (рд)

Закономерности изменения явления во времени не проявляются в каждом конкретном уровне ряда. Это связано с действием на явления общих и случайных причин. Поэтому в статистике для выявления закономерности или тенденции развития явления используют следующие методы обработки рядов динамики:

1. Метод сглаживания путем укрупнения интервала во времени.

2. Выравнивание рядов динамики методом скользящей средней.

3. Метод аналитического выравнивания.

Сущность приема укрепнения интервалов сводится к следующему:

I прием. Первоначально ряд динамики преобразуется и заменяется другим рядом, в котором показатели относятся к большим по продолжительности периодам времени, т.е. интервал укрупнен. Этот прием используется только для интервальных рядов динамики. Укрупнение производится до тех пор, пока не будет выявлена четкая тенденция развития явления, а уровни ряда охватывать большие периоды времени.

Пример. Имеются данные о производстве обуви за ряд лет (табл. 6.7), выявить тенденцию роста или снижения производства обуви методом укрупнения интервалов.

Табл. 6.7 Данные о производстве обуви

Г о д ы	Производство обуви, млн. пар
2005	680
2006	683
2007	550
2008	670
2009	685
2010	690

В данном РД нечетко обозначена тенденция выпуска обуви.

Для выявления тенденции укрупним интервалы до 3-х лет и рассчитаем общий и средний выпуск обуви, используя среднюю арифметическую

Уср = ∑Х / n.

Табл. 6.8 Укрупненный ряд динамики

Г о д ы	Производство обуви
	Всего	Среднегодовое
2005 – 2007	1913	637,6
2007 – 2010	2045	681,6

В этом ряду четко просматривается тенденция роста выпуска обуви.

Недостатком этого приема является то, что при его использовании не прослеживается процесс изменения явления внутри укрупненных интервалов.

II прием. Метод скользящей средней заключается в следующем: формируются укрупненные интервалы, состоящие из одинакового числа уровней. Каждый последующий интервал получаем, постепенно сдвигаясь от начального уровня ряда на один уровень. По укрупненным интервалам определяем среднюю из уровней, входящих в каждый интервал.

Пример. Известны следующие данные о рабочих днях и производстве продукции (табл. 6.9). Для четкого проявления тенденции производства продукции необходимо укрупнить ряды динамики с интервалом в пять дней. Рассчитаем скользящую среднюю с интервалом в пять дней. Решение в табл. 6.9.

Табл. 6.9 Ряд динамики

Рабочие дни	Произведено продукции, в тыс. руб.	Скользящая производства продукции (интервал 5дн.)	Скользящая средняя из 5 уровней
1	37	37+42+33+45+58=215	215:5=43,0
2	42	42+33+45+58+55=233	233:5=46,6
3	33	33+45+58+55+56=247	247:5=49,6
4	45	45+58+55+56+70=284	284:5=56,8
5	58	58+55+56+70+69=308	308:5= 61,6
6	55	55+56+70+69+74=324	324:5=67,8
7	56	56+70+69+74+71=339	339:5=68,0
8	70	70+69+74+71+86=340	340:5=74,0
9	69
10	74
11	71
12	86

Получили новый РД, где четко прослеживается тенденция роста производства продукции.

Недостатки:

1. Невозможность получения всех уровней для сглаженного ряда. Число в сглаженном РД меньше, чем в исходном, на (к – 1), где к – число периодов в укрупненном интервале (5 – 1)=4, т.е. на 4.

2. Произвольность выбора интервала для определения скользящей сред-ней.

III прием. Аналитическое выравнивание. При исчислении этого метода фактические уровни РД заменяются теоретическими, вычисленными на основе уравнения определенной кривой, отражающей общую тенденцию развития явления.

Тенденция развития социально-экономических явлений обычно изображают кривой, параболой, гиперболой и прямой линией.

Если РД выравнивают по прямой, то уравнение прямой имеет вид:

Уt = а + вt,

где У – фактические уровни; Уt – теоретическое значение уровня; t – периоды времени – фактор времени, «а» и «в» - параметры уравнения.

Так как «t» известно, то для нахождения «Уt» необходимо определить параметры «а» и «в». Их находят способом отклонений наименьших квадратов, смысл которых заключается в том, что исчисленные теоретические уровни должны быть максимально близки к фактическим уровням, т.е. ∑ квадратов отклонений теоретических уровней от фактических должно быть min. (∑(Уt-Уi)²→min).

Этому требованию удовлетворяет следующая система нормальных уровнений:

{ аn + в∑t = ∑У

{ а∑t ÷ в∑t² = ∑ Уt

где n – количество уровней РД.

Эту систему уровней можно упростить, если взять t (период времени) таким, чтобы сумма периодов равнялась нулю: ∑t = 0.

Для этого необходимо периоды РД пронумеровать так, чтобы перенести в середину ряда начало отчета времени. В РД с нечетным числом периодов времени нумерация начинается с середины ряда и с нуля «0», а с четным числом периодов с «-1» и «+1». Тогда уравнения примут вид:

аn = ∑ У, отсюда получим «а» - а =∑ У/n; в∑t²=∑Уt, в=∑ Уt/∑t².

Пример. По данным табл. 6.10 произвести анализ основной тенденции развития явления.

Табл. 6.10

Годы	Объем т/оборота, млн. руб. (У)	t	Уt	t²	Уt	Значение теорети-ческих уравнений
2004	480	-3	-1440	9	487,4	552,8+21,8х(-3)= =487,4
2005	500	-2	-1000	4	509,2	552,8+21,8х(-2)= =509,2
2006	540	-1	-540	1	531,0	552,8+21,8х(-1)= =531,0
2007	570	0	0	0	552,8	552,8+21,8х0= =552,8
2008	580	1	580	1	574,6
2009	590	2	1180	4	596,4
2010	610	3	1830	9	618,2
∑3870			∑610	28	∑Уi=3869,6

Итого: У = 3870.

Решение задачи рассмотрим подробно:

1. Находим значение «а»:

∑У = аn, а = ∑У / n = 3870 / 7 = 552,82.

2. Дата нахождения «в»:

2.1. Находим середину интервального ряда и нумеруем периоды, определяем, начиная с «0» графа 3: в =∑Уt / ∑t².

2.2. Определяем произведение Уt и ∑Уt = 610.

2.3. Затем t², отсюда в = 610 : 28 = 21,8.

Теперь по уравнению определяем теоретические уровни (Уt):

Уt = а + вt = 552,8 + (21,8 х (-3)) = 487,4.

Упракт. = 3870; Уi = 3869,6 расхождение min.

Суммы теоретических и фактических уровней равны, т.е. уравнения прямой, выбранные (точно) для аналитического выравнивания, в полной степени выражают тенденцию развития изучаемого явления.

Параметры искомых уровней при аналитическом выравнивании могут быть определены по-разному. Чаще всего их определяют, решая систему нормальных уравнений, полученных методом наименьших квадратов.

Аналитическое выравнивание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления в изучаемый период времени, но и произвести расчеты недостающих уравнений рядов динамики.

Определение по имеющимся данным за определенный период времени недостающих значений признака внутри периода называется интерполяцией. Нахождение значений признака за пределами анализируемого периода называется экстраполяцией. Экстраполяция может осуществляться как прошлое, так и будущее.