4. Средние величины

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, заработной платы, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.

Требования, предъявляемые к средним величинам:

- средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;

- средние должны исчисляться по данным большого числа единиц, составляющих совокупность, то есть отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.

В экономических исследованиях применяются две категории средних: степенные и структурные.

Таблица 4.1 Виды средних величин

Наименование средней	Формула средней
	Простая	Взвешенная
Арифметическая	Хср = ∑х / n	Xср = ∑xf / ∑f
Гармоническая	Хср = n / ∑ 1/x	Хср = ∑M / ∑(1/x)M
Геометрическая	n Хср = √ x1 ∙ x2 ∙ xn-1 ∙ xn	∑f f1 f2 fn Хср = √ x1 ∙ x2 ∙ xn
Квадратичная	Хср = √ ∑x² / n	Хср = √ ∑x² / ∑f

Х – индивидуальное значение признака,

n – число значений признаков.

К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая. Средняя обозначается через Х. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквой f.

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия исходной информации.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется, когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются неодинаковое количество раз.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (то есть М = х ∙ f).

Средняя гармоническая простая встречается в тех случаях, когда веса одинаковы, то есть равны между собой.

Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.

Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения (σ) при изучении темы «Показатели вариации».

Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, то есть по средней арифметической взвешенной: Хср = ∑xf / ∑f.

Для вычисления средней в интервальных рядах нужно перейти к дискретному ряду, то есть по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением и вычислить по формуле:

Xср = ∑{(∑x/2) ∙ f} / ∑f.

Для того чтобы проверить правильность выбора формул, надо учитывать:

- среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значений признака совокупности;

- среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует большая частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами, полученными расчетным путем, в то же время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различным строением.

Структурные средние используются для более полной характеристики совокупности. К ним относятся

Мода – это варианта с наибольшей частотой (М0);

Медиана – это варианта, делящая совокупность на две равные части (Мс).

Квартили – это варианта, делящая совокупность на 4-ре равные части.

Децили – это варианта, делящая совокупность на десять равных частей.

Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.

Для дискретного ранжированного ряда значения признака расположены в порядке возрастания или убывания, место медианы в ряду определяют по формуле:

Nme = (n + 1) / 2,

где n – число членов ряда.

Если же ряд распределения состоит из четного числа членов, то за медиану принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

M0 = xмо + i ∙ {(fmo – fmo-1) / [(fmo – fmo-1) + (fmo – fmo+1)]},

где xмо – нижняя граница модального интервала;

fmo – частота модального интервала;

fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном ряду распределения для нахождения медианы сначала указывают интервал, в котором она находится.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы начисляется по формуле:

Me = Xme + i ∙ {(∑f/2 – Sme-1) / fme},

где f – сумма частот ряда;

Xme – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;

Sme-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

Fme – частота медианного интервала.

Мода, медиана, средняя для дискретного ряда распределения и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа вариационного ряда.