5.2 Деформации при сдвиге

В

g

теоретическом плане рекомендуем студентам ознакомиться с выводом формулы относительной деформации сдвига , которая имеет место при действии на элемент 1234 (рис. 5.3) напряжений s₁ и s₃ . Приложение к

вершинам 1,3 квадрата растягивающих, а к вершинам 2,4 усилий, приводит к ромбовидной форме фигуры 1’2’3’4’ ;

– сжимающих – угол сдвига

(рис.5.5.).

s₃

² _2¢ g

s_{1 s1}

₁

1

₃ ¢ ₃

₄¢ 4

3

Рис. 5.5.

Рассматривается изменение длин диагоналей ромба при деформации их в продольном и поперечном направлениях (с использованием формулы обобщенного закона Гука). Результатом вывода является получение формулы

(

g

t

5.6), которая называется законом Гука при сдвиге

=G× (5.6) _где: g _{- угол сдвига;}

G – модуль упругости II-го рода (модуль сдвига), МПа.

Таким образом, имеется полная аналогия в формулах, связывающих напряжение и относительную деформацию при растяжении и сдвиге: s = E ; t = G×

Взаимосвязь между тремя упругими константами материала - модулем упругости I-го рода Е, модулем упругости II-го рода G, и коэффициентом Пуассона m имеет следующий вид:

^G

E

(

⁼ 21+m) ^{, (5.7)}

6. Кручение

6.1 Внешние и внутренние силовые факторы, метод сечений

С кручением на практике приходится встречаться главным образом при проектировании и расчёте валов. Вал - стержень круглого поперечного сечения.

Нагружено-деформированное состояние – кручение создаётся в результате приложения пар сил в плоскостях, нормальных к оси вала (стержня) (рис.6.1).

_I M₁ A

M₂

x x

1 2 I

Рис. 6.1.

₁ и M₂ – скручивающие моменты (пары сил) – это внешние силовые факторы. (кН м)

Схематично рис.6.1 можно представить в упрощенном виде (рис.6.2).

M₁

A ^x M₂

Рис. 6.2

К валу (стержню) может быть приложено сколько угодно таких скручивающих моментов. Для элемента, испытывающего кручение, можно составить только одно уравнение статического равновесия:

n

å

M(x)_i = 0 _(6.1) i=1

где i- число скручивающих моментов, действующих на вал.

При составлении расчетной схемы (плана сил) – в сечении А – следует показать реактивный момент M_зад . Величина этого момента находится из уравнения равновесия (6.1).

Далее необходимо перейти от внешних скручивающих моментов к внутренним силовым факторам и их определению.

Внутренним силовым фактором, действующим в нормальных сечениях вала (стержня), является крутящий момент M_кр (кН×м). Величина этого момента в

любом нормальном сечении определяется методом сечений, о котором

упоминалось выше (cм.раздел 2 п.2.2). Закон изменения М_кр постоянен для всех сечений каждого из участков. По длине вал разбивается на участки, границами участков служат сечения, в которых приложены внешние скручивающие моменты. Рассматриваемый стержень состоит из двух участков - 1 и 2 (рис. 6.1). Крутящий момент M_кр в поперечном сечении вала (стержня) равен

алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Определим методом сечений M_кр в сечении I-I стержня (рис. 6.1). Рассекая стержень сечением I-I, рассмотрим его правую часть (рис. 6.3).

I

M₁

x x

M_кр1

_I M₂

Рис. 6.3.

В сечении I-I будет действовать внутренний крутящий момент M_кр1,

величина которого равна алгебраической сумме скручивающих моментов M₁ и M₂, действующих по правую сторону от сечения I-I.

^М_кр1 ⁼ å^М_скр

внешних

(6.2)

Если смотреть на сечение I-I, то внешние скручивающие моменты, направленные по часовой стрелке, будут записываться в уравнении (6.1) со знаком «+», а направленные против часовой стрелки – со знаком «–».

Так в примере (рис. 6.3), с учетом сказанного, выражение (6.2) примет вид

М_кр1 = −М₁ + М₂ . (6.3)

По аналогии крутящий моментM_кр2 на участке 2 (рис. 1) будет равен

M_кр2 = М₂ . (6.4)

Для выявления опасного участка удобно построить эпюру крутящих моментов (рис. 6.4).

Рис. 6.4. Эпюра крутящих моментов

Пусть М₂ > М₁ .

Следует обратить внимание на то, что в данном примере, при определении внутреннего крутящего момента M_кр и на первом участке 1, и на втором участке 2 рассматривалась правая от сечения часть стержня, т.е. отбрасывалась левая часть с заделкой. При таком подходе можно было не вычислять момент в заделке М_зад . Величина реактивного момента М_зад получается в этом случае при построении эпюры крутящих моментов «автоматически» как значение внутреннего крутящего момента в сечении А.

Из рис. 6.4 следует, что опасным является участок 2, т.е. | M_кр2 |=| М_max | | М₂ |

Скачки на эпюре наблюдаются в тех сечениях на заданной схеме, в которых приложены скручивающие моменты M₁, M₂ и М_зад . Величина этих скачков равна величине моментов M₁, M₂, М_зад . Направления скачков на эпюре так же определяется направлением этих моментов.