8.4 Деформации и условие жесткости при плоском поперечном изгибе

Приложение внешних силовых факторов к балке приводит к искривлению ее оси. Ось балки является геометрическим местом точек, соответствующим центрам тяжести нормальных сечений. При искривлении оси центры тяжести сечений, а это значит и сами сечения балки, будут перемещаться. Ввиду малости значений этих перемещений можно допустить, что их смещение происходит по вертикали.

На рис 8.6 показана изогнутая ось балки, защемленной одним концом, под действием внешней силы Р. Обозначим вертикальные перемещения центров

=

K

тяжести сечений - f(x). Кроме вертикальных перемещений имеют место и угловые перемещения сечений, которые обозначим-V(x).

Рис 8.6 Линейные и угловые перемещения балки. Положение изогнутой оси

Произвольно взятое сечение I-I балки имеет вертикальное перемещение f_I-I и угловое перемещение V_I-I. Правило знаков: вертикальное перемещение сечения вниз от оси X будем считать отрицательным, вверх – положительным. Поворот сечения по часовой стрелке – отрицательным, против часовой стрелке – положительным. В нашем примере f_I-I (-);V_I-I (-).

Для построения изогнутой оси балки необходимо численно определить перемещения нескольких сечений, после чего графически в масштабе можно построить изогнутую ось балки и график угловых перемещений. Целью такого построения является определение максимального прогиба балки и наибольшего значения угла поворота.

Существует несколько методов определения перемещений балки. Одним из них является метод начальных параметров. Сущность метода заключается в составлении функций f(x) и V(x), описывающих очертание изогнутой оси балки и кривой углов поворота. В этих функциях X обозначаем текущую координату любого сечения балки, т.е. расстояние выбранного сечения от начала координат. В методе начальных параметров начало координат всегда помещают в крайнее левое сечение балки. Для балки, изображенной на рис.8.6, начало координат необходимо поместить в сечение А.

На рис8.6 показан центр кривизны (0) и r – радиус кривизны. Кривизна балки K может также выражать деформацию балки:

K

1

= _r (8.12)

d² f (x)

dx²

(8.13)

=

С другой стороны, K =

(x)

EJ_z

(8.14)

т.е. кривизна зависит от силовых факторов, входящих в функцию М(x), и от деформационной жесткости балки при изгибе - EJ_z.

Приравнивая правые части выражений (8.13) и (8.14), получим:

d² f (x) M(x)

dx² EJ_z

(8.15)

Выражение (8.15) носит название дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Это уравнение связывает вертикальные перемещения сечений балки (вторую производную) с силовыми факторами, приложенными к балке и входящими в функцию М (x).

Проинтегрировав обе части выражения (8.15), получим:

^d

0

dx EJ

f ^{(x) =V(x) = 1} ò^{M(x)dx+V (8.16) z} L

Проинтегрировав обе части выражения (8.16), получим:

f

1

ò

0

(x) = f₀ +V x+ _EJz L V(x)dx (8.17) Здесь: V₀ и f₀ – постоянные интегрирования. Их физический смысл: f₀ –

вертикальное перемещение крайнего левого сечения балки; V₀ – угол поворота крайнего левого сечения балки. V₀ и f₀ называются начальными параметрами, определяются из начальных условий задачи( Н.У.).

Таким образом, составив функцию изгибающих моментов для всей балки М(x) и дважды проинтегрировав это выражение (8.15), получаем функцию углов поворота V(x) и функцию вертикальных перемещений сечений f(x).

Графическое изображение функции f(x) , построенное в масштабе, дает очертание изогнутой оси балки под действием на нее внешней нагрузки. Из графика определяем величину максимального прогиба и сравниваем ее с

предельно допустимой величиной, т.е.

^f_max ^£[^f] _(8.18) Выражение (8.18) называется условием жесткости балки при изгибе. [f] – предельно допустимая величина прогиба балки при плоском поперечном изгибе, измеряется в единицах длины ( мм, см ,м ).

Разберем применение метода начальных параметров для определения угловых и линейных перемещений балки, изображенной на рис. 8.6.. За начало координат при использовании метода начальных параметров принимают крайнее левое сечение балки, и все участки балки рассматривают по направлению слева направо.

1. Составляем план сил (рис. 8.7)

1

ê

0

−

ú

Рис. 8.7 План сил.

2. Из уравнений статического равновесия определяем силы реакции опор в заделке А:

Н_А =0; R_A =P; М_А =Р×l (8.19)

3. Начало координат помещаем в (×) А.

4. Составляем функцию изгибающих моментов М(x) (на балке один участок), идя слева направо

M(x) = R_Ax−M_Ax⁰ (8.20)

5. Интегрируем выражение (8.20):

V

ê ú

0

A

EJ 2

(x) =V + ^{1 éRAx}2 −M x^ù (8.21)

z ë û

6. Интегрируем выражение (8.21):

f (x) = f₀ +V x+ _EJz ^é

_Ax³ _MAx² ù

^{6 2} û

(8.22)

П

ë

РИМЕЧАНИЕ: в рассматриваемой задаче силовые факторы R_A и М_А действуют непосредственно в начале координат, поэтому в выражениях (8.20-8.22) х – расстояние от точки А до рассматриваемого произвольного сечения. В случае, если внешний силовой фактор удалён от начало координат (например, на расстояние «а») в соответствующем этому силовому фактору слагаемом в уравнении необходимо вместо x подставлять (x-а), т.е. необходимо указывать расстояние от точки приложения силового фактора до рассматриваемого сечения.

7. Для того чтобы пользоваться функциями (8.21) и (8.22), необходимо определить начальные параметры V₀ и f₀. Записываем условия закрепления балки, т.е. начальные условия (Н.У.):

В нашей задаче: 1) f_x=0=0

(8.23) 2) V_x=0=0

Выражения (8.23) указывают на то, что сечение А, находящееся в заделке – не перемещается, т.е.

f_x=0= f₀=0

(8.24) V_x=0= V₀=0

Примечание. В других задачах для определения начальных параметров могут быть использованы условия равенство нулю перемещений в других местах закрепления балки, например, на опорах линейное перемещение сечений также равно нулю.

8. Определяем вертикальное перемещение и угол поворота сечения В, находящегося на конце балки:

Из (8.22):

f

ê ú

EJ EJ

6 2 3

ë û

_B = f_(x=l) = ^{1 éPl}3 − ^Pl3 ^ù = − ^Pl3 (8.25) z z

Из (8.21):

V

ê ú

(

2 2

EJ EJ

ë û

_B =V _x=l) = ^{1 éPl}2 − Pl^{2 ù} = − ^Pl2 (8.26) z z

;

M

ЗАДАЧА №6

Для балки двутаврового сечения, закрепленной на двух шарнирных опорах А и В, (рис. 1) требуется:

− написать выражения Q_(x) и M_(x) для каждого участка; − построить эпюры Q_(x) и M_(x);

− найти максимальный изгибающий момент

max

(x)

− подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения; − вычертить в масштабе двутавровое сечение;

− построить эпюры распределения нормальных, касательных, главных напряжений по высоте сечения балки;

вычислить вертикальные прогибы f(x) сечений (·)1 и (·)2 методом начальных параметров и построить изогнутую ось балки.

Рис. 1

Дано:

Р = 20 кН М₀ = 30 кНм q = 10 кН/м а = 2 м

l = 4 м

[s] = 160 МПа

Оси Y и Z – центральные оси сечения (рис.1). Для двутаврового сечения эти оси являются главными центральными осями (признак симметрии оси).

По определению внешняя нагрузка для создания плоского поперечного изгиба должна лежать либо в плоскости XOY, либо в плоскости ZOX. В нашем примере – в плоскости XOY. Осью X будем обозначать ось балки (это геометрическое место центров тяжести нормальных сечений балки).

РЕШЕНИЕ