5. Определение опасных сечений балки

Из построенных эпюр (рис.3а,б) определяем опасные сечения балки.

В задаче опасным сечением балки является сечение А, так как в этом сечении наблюдается наибольшее по абсолютной величине значение и внутреннего изгибающего момента M_А, и внутренней поперечной силы Q_А:

М_{A max} = 40кНм

Q_{A max} = 22,5кН

П

Q

Q

РИМЕЧАНИЕ: в данном примере в одном и том же сечении _max и M_max совпадают. Не обязательно _max и M_max будут наблюдаться в одном

сечении.

6. Подбор двутаврового сечения балки (номера двутавра -№I)

При подборе сечения балки в большинстве случаев пользуются условием прочности по нормальным напряжениям (8.9), т.к. в редких случаях t_max будут иметь опасные значения, близкие к [t]. Поэтому записываем условие прочности:

_m

s

z

_ax ⁼ _W ^£[ ]

Из условия прочности вычислим значение осевого момента сопротивления W_z при условии что для материала балки – стали [s]_стали = 160 МПа:

^W

s

z ^³ [ ] ⁽⁶⁾

W

160 160×10

6

МПа Па

_z ³ ^40кНм ³ ^40×103 ^Нм ³ 0,250×10⁻³ м³ ³ 250см³ (7)

Из таблицы сортамента (ГОСТ 8239-53) находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления W_z для балок двутаврового сечения.

W_z = 251cм³ - это значение соответствует двутавру № 22а.

Выписываем все необходимые характеристики выбранного сечения из таблицы сортамента для двутавра № 22a:

h = 220 мм, высота профиля b = 120 мм

d = 5,3 мм

t = 8,8 мм

J

z

z

= 2760 cм⁴ W = 251 см³ S_z = 141 cм³

Вычерчиваем в масштабе двутавровый профиль № 22a (рис.4).

7. Построение эпюр распределения нормальных, касательных, главных напряжений по высоте сечения балки

Рис. 4 Графики (эпюры) изменения нормальных (а), касательных (б) и главных (в) напряжений по высоте сечения двутавровой балки

На рис.4а показана эпюра высоте сечения балки, это

распределения графическое

нормальных напряжений по представление зависимости,

о

J

писываемой формулой s = ^(x) y . Для построения s(у) достаточно z

о

3

40×10

пределить значения s_max.Определяем значение s_max с учётом значения осевого момента сопротивления W_z = 251 cм :

3

s_max = _{0,251×10−3} »159,4МПа, (8)

Отметить, что величина s_max < [s].

Откладываем полученные значения ±s_max на эпюре нормальных напряжений в наиболее удалённых от оси z точках двутавра. Так как наибольшее значение внутреннего изгибающего момента имеет отрицательное значение (М_max=-40кНм), верхняя от нейтральной оси z часть двутавра подвергается растягивающим (положительным) усилиям, нижняя – сжимающим (отрицательным). Это отражено и на эпюре s(у).

Для построения эпюры распределения касательных напряжений в сечении балки применим формулу Журавского:

t

z

= _Jz _×b(y)

Определим t в характерных точках сечения балки 1, 2, 2´,3, 4,4´,5 Примечание. Все вычисления рекомендуется проводить в системе

измерений СИ (Н и м).

Д

×

Q(

ля упрощения вычислений определяем величину к, не зависящую от положения точек в сечении:

k

3

22,5кН 22,5 10 Н

1

z

= _J^x) = const = _2760см4 = _{2760×10−8 м4} = 0,0082×10 ¹ н/м⁴ (9)

о

k ×S S

тс отс

t

1

z z

= _b(y) = 0,0082×10 ¹ ×_b(y) (10) Таким образом, для расчёта касательных напряжений в указанных точках в

ф

z

ормуле Журавского следует менять лишь значение величин: S^отс –

статического момента площади отсеченной части сечения на уровне точки, в которой определяем t; b(y) (м) – ширину сечения на уровне точки, в которой определяем t. В указанных точках сечения балки 1, 2, 2´,3, 4,4´,5 определим значения касательных напряжений.

В точках 1и 5, расположенных на крайних границах полок:

S

z

^отс _{= 0 , т.к. на уровне точек 1 и 1´ отсеченная часть отсутствует.} t_1,5=0

В

S = F × y

точках 2, 4, расположенных на границах полок, примыкающих к узкой части двутавра:

о

,

тс(полки)

z полки c

где F_полки – площадь полки

F

п

_олки = b×t =120×10⁻³ ×8,8×10⁻³ =1056×10⁻⁶ м²

y

ç ÷ ç ÷

2 2 2 2

è ø è ø

_c =^{æ h} − ^{t ö} =^{æ 220} −^8,8ö =110−4,4 =105,6мм =105,6×10⁻³ м

у_с – расстояние от центра тяжести полки до нейтральной оси z.

S

z

^{отс(полки)} =1056×10⁻⁶ ×105,6×10⁻³ =111513,6×10⁻⁹ м³ b(y) =120×10⁻³ м -ширина полок

0

1

t

= = =

,0082×10 ¹ ×111513,6×10⁻⁹ 0,82×111513,6×10³

² 120×10⁻³ 120

=

120 120

^{820×111513,6} Па = ^820×0,112 МПа = 0,76МПа

₄ =t₂ = 0,76 Па

В точках 2´и 4´, расположенных под полками на узкой части двутавра:

S

z

^{отс(полки)} =111513,6×10⁻⁹ м³ b(y) = d =5,3×10⁻³ м

0

1

t

= = =

,0082×10 ¹ ×111513,6×10⁻⁹ 0,82×111513,6×10^{3 2'} 5,3×10⁻³ 5,3

₌

5,3 5,3

820×111513,6 _{Па =} 820×0,112 _{МПа =17,32МПа}

t_4¢ =t_2¢ =17,32 Па

В точке 3, расположенной на нейтральной оси z:

S

z

z

^отс = S_z - статический момент половины площади сечения. S^отс =141×10⁻⁶ м³ (из таблицы сортамента)

b

1

t

= = Па = МПа =

(y) = d =5,3×10⁻³ м - ширина узкой части двутаврового сечения. 0,0082×10 ¹ ×141×10⁻⁶ 820×141×10³ 0,82×141

³ 5,3×10⁻³ 5,3 5,3 = 21,82МПа

Строим в масштабе эпюру распределения касательных напряжений по высоте двутаврового сечения (рис.4б).

Из построенных эпюр s и t следует, что нормальные напряжения имеют максимальные значения в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси (точках 1, 5), максимальные касательные напряжения – в точках, расположенных на нейтральной оси z (точка 3).

Как было указано выше, значение s_max существенно превышает значение t_max.

П

6

РИМЕЧАНИЕ: Для подбора балки прямоугольного сечения, имеющего размеры b и h, полученное из условия прочности (8.9) числовое значение для W_z приравнивают к значению W_z = ^bh2 . В условии задачи задаётся соотношение

между высотой сечения h и шириной b, например, h = 2b. Учитывая это соотношение, подбираем размеры балки прямоугольного сечения h и b из условия прочности.

Для полной проверки прочности балки определяют главные напряжения в опасном сечении, величина которых имеет экстремальные значения max и min. Затем, используя одну из теорий прочности, сравнивают значения этих напряжений с допускаемым напряжением [s].

Для построения эпюр распределения главных напряжений в сечении балки вычисляем значения s_max для точек 1, 2, 4, 5 (принадлежащих полке), 2^/ , 3, 4^/ (принадлежащих стенке ) :

s

s

2

t

_max = ¹( + s² +4 ² ) (11)

Составим таблицу 1 значений s_max в этих точках:

Таблица 1

точка	s, МПа	t, МПа	smax
1	159,40	0	159,40
2 (полке)	145,20	0,76	145,24
2/ (стенке)	145,20	17,32	147,24
3	0	21,82	21,82
4 (полке)	-145,20	0,76	»0
4/ (стенке)	-145,20	17,32	2,04
5	-159,40	0	0

ПРИМЕЧАНИЕ: значения s и t берем с построенных эпюр (рис. 4а, 4б).

Д

1

ля этих же точек вычислим s_min:

s

s

t

_min = ₂( − s² +4 ² ) (12) Составим таблицу 2 значений s_min в этих точках:

Таблица 2

точка	s, МПа	t, МПа	smin
1	159,40	0	0
2 (полке)	145,20	0,76	@0
2/ (стенке)	145,20	17,32	-2,04
3	0	21,82	-21,82
4 (полке)	-145,20	0,76	-145,24
4/ (стенке)	-145,20	17,32	-147,24
5	-159,40	0	-159,40

По полученным значениям s_max и s_min строим эпюру распределения главных напряжений по высоте сечения (рис. 4в).

2 2

x

1 qx

B

ê

0

1

+ − +

ú