6.2 Напряжения и условие прочности при кручении

Рассмотрим отрезок стержня бесконечно малой длинны dx, испытывающего кручение под действием внешнего скручивающего момента M_скр (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Вырезанный на поверхности этого стержня элемент 1234 находится в состоянии чистого сдвига (рис. 6.6).

2 3 t ^R

t

r 1 4

Рис. 6.6.

П

t

о взаимно перпендикулярным граням этого элемента действуют только касательные напряжения .

t = Mкр ×r (6.5) J_p

где М_кр кН×м – внутренний крутящий момент;

J_p , м⁴– полярный момент инерции сечения;

, м – расстояние от точки, в которой рассчитывается t , до полюса

(центра тяжести круглого сечения вала).

Для наиболее удаленных от полюса точек, т.е. при R, величина – наибольшая (t_max ) и может быть вычислена по формуле:

[ ]

t

t

=

£

t_max =

^Mкр ×R ; (6.6)

J_p

t_max =

M_{кр , (6.7)}

W_p

где W_p - осевой момент сопротивления сечения;

W_p = ^Jp . (6.8)

_{Для опасных сечений, в которых} M_кр = M_{кр max , имеем}

^Mкр max max W_p

(6.9)

Выражение (6.9) называется условием прочности при кручении.

6.3 Деформации и условие жесткости при кручении

В

g

ернемся к рассмотрению отрезка стержня АВ (рис.6.5). Сечение А неподвижно. Сечение В повернется по отношению к сечению А на угол dj, а образующая CD – займет положение CD , т.е. сдвинется на угол . Таким

образом, деформация при кручении характеризуется образца g, либо абсолютным углом закручивания dj.

Для определения абсолютного угла закручивания длиною l используется следующая формула:

либо уголом сдвига

на участке стержня

Df = _{G× J}p , (6.10) где Dj град. – абсолютный угол закручивания;

М_кр , кН×м – внутренний крутящий момент;

l, м – длина участка элемента, на котором вычисляется угол закручивания; G, мПа – модуль упругости II–го рода;

J_p , м⁴ – полярный момент инерции сечения. Относительный угол закручивания

q

l

= ^D рад/м; град/м (6.11)

q

=

[ ]

3

³

[ ]

d ³

пр

[ ]

³

ж

[ ]

кр

d ³

M_кр

GJ_p

(6.12)

Условие жесткости при кручении имеет вид

q

q

×

[

= ^Mкр ^max £[ ] . (6.13) G J_p

где q] – допускаемый угол закручивания.

Вывод формул (6.9) и (6.13) см. учебники [2,4,5] (раздел «Сдвиг, Кручение»):

На практике часто приходится решать задачи по подбору диаметра вала, испытывающего кручение. Диаметр вала должен отвечать и условию прочности, и условию жесткости. Подбор диаметра вала осуществляется с использованием формул (6.9) и (6.13).

Подберем диаметр вала, отвечающий условию прочности, d_пр Из условия прочности (6.9):

W_p ³

М_{кр max} t

(6.14)

pd_пр ^М_{кр max} 16 t

(6.15)

₃ 16М_{кр max} p t

(6.16)

П

[ ]

одберем диаметр вала, отвечающий условию жесткости, d_ж Из условия жесткости (6.13)

J_p ³

М_{кр max} Gq

(6.17)

pd^{4 М}кр _max 32 Gq

(6.18)

32М

^ж

q

4 pG[ max

(6.19)

И

]

з двух значений d_пр и d_ж , выбираем наибольшее значение.

ЗАДАЧА №4

К стальному валу приложены два известных момента: М₁, М₂ (рис. 1). Требуется: 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю; 2) для найденного значения Х построить эпюру крутящих моментов; 3) при заданном значении [t ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его значение до ближайшего равного: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм; 4) построить эпюру углов закручивания; 5) найти наибольший относительный угол закручивания (на 1 м).

I M₁ M₂ ^Х

x A x

B

I ^{a b a}

Дано: М₁ = 1,5 кН м М₂ = 2,0 кН×м

а = 1 м b = 2 м

D _B = 0

G_ст= 8×10⁴ мПа = 40 мПа

^Р

]

t

Найти: диаметр вал

ис.1 ^{Заданная схема} из условия прочности, а dпр построить эпюру углов

закручивания, найти наибольший относительный угол закручивания (на 1м). Решение:

1. Составляется план сил (рис. 2)

1 2

1

M₂ ^{3 Х}

x x

A B M_зад

a b a

Рис. 2.

2. Записывается уравнение статического равновесия для рис. 2

å^{M(x) = 0 (1)} М_зад − М₁ + М₂ − X = 0 (2)

В выражении (2) имеем две неизвестные: М_зад равновесия входят два неизвестных внешних статически-неопределенная задача.

и X, т.е в

силовых

одно уравнение

фактора – это

1

+ + = 0

3. Определение неизвестных внешних силовых факторов.

Необходимо составит второе условие, связывающее неизвестные силовые факторы, используя условие: Df_B =0.

Разобьем стержень на участки – их три: 1, 2, 3

Составим уравнение (3) для определения угла поворота сечения В

М_кр ×а М_кр2 ×b М_кр3 ×а

G× J_p G× J_p G× J_p

(3)

Здесь М_кр1, М_кр2 , М_кр3 – внутренние крутящие моменты, действующие в сечениях стержня каждого из трех участков.

Выразим значения этих моментов через внешние скручивающие моменты с помощью метода сечений. Стрелками и значком (глаз) показаны направления взгляда в сечения.

Участок 1:

М_кр1 = −М_зад .

M_зад Участок 2:

M_{1 М}кр2 _М1 _Мзад _.

M_зад ^а

Участок 3:

^Х М_кр3 X

Подставим значения М_кр1, М_кр2 , М_кр3 через внешние скручивающие моменты

в

( )

)

уравнение (3)

− М_зад ×a + М₁ − М_зад b + − X а 0 (4)

Решим совместно уравнения (2) и (4). Из уравнения (2) следует

X = М_зад − М₁ М₂ (5)

Подставим значение X из уравнения (5) в уравнение (4)

− М_зад ×a + М₁ ×b − М_зад b М_зад a + М₁ ×a М₂ ×a = 0

−

(

М_зад (2a b)+ М₁ b + a)− М₂ а 0

− М_зад ×4+ М₁ ×3− М₂ ×1= 0

М

4 4

_зад = ^{М1 ×3− М2 ×1} = ^4,5−2 = 0,62 кН×м

Из выражения (2) определим Х

X = М_зад − М₁ + М₂ = 0,62 1,5+ 2,0 =1,12 кН×м

4. Построение эпюры крутящих моментов (рис. 3)

M_зад ^{1 2} M₂ ^{3 Х}

A

1,12 1,12

0,62 0,62

M_кр ⁺ ₀ ⁺

+

0

– –

0,88 0,88

+

Df ^{0 0} –

0,011

Рис. 3.

5. Определение опасного участка и значения |М _мах |. Из эпюры следует, что опасным является участок 3

M_кр3 = М_{кр max} =1,12 кН м

6. Определение диаметра вала из условия прочности

t

t_max =

^{Mкр max} £ [ ] W_p

_W

[ ]

t

Н

6

p _³ ^Mкр _{max ³} 1,12×10³Н×м _{³ 0,028×10− 3м3 ³ 28 см3}

40×10

м

3

²

W

p

d

3,14

_p = ₁₆ = 28 см³ Þ d_пр ³ ^{3 16×28} ³ ³ 142,68 ³ » 5,22 см ³ 52,2 мм Выбираем диаметр вала, округляя, как указано в задании, d_в = 60 мм.

7. Построение эпюры углов закручивания.

Рассчитаем значения углов закручивания по каждому участку вала по

формуле Df = _{G× J}p

J

4

p

d

32

_p = ₃₂ = ^3,14×64 =127,17 см⁴ =127,17×10⁻⁸ м⁴

G× J_p = 8×10⁴ ×10⁶ ×127,17×10⁻⁸ =12717×8 =101736 Н×м²

Участок 1

^M

1

f

D =

= = 0,006

_кр ^×а 0,62×10³ ×1 ¹ G× J_p 101736

рад.

Участок 2

D

M

кр

2

101736

p

f₂ = _{G× J}^×b = − ^0,88×103 ^×2 = −0,017 рад.

Участок 3

^M

f

D =

= = 0,011

_кр3 ^×а 1,12×10³ ×1 ³ G× J_p 101736

рад.

Строим эпюру углов закручивания (рис. 3).