8.2 Нормальные и касательные напряжения при изгибе. Условие прочности.

Поперечная сила Q(x) вызывает в точках поперечного сечения балки касательное напряжение t, а изгибающий момент M(x) – нормальные напряжения s. Вывод формул для вычисления значений нормальных и касательных напряжений см. [2,4,5].

Нормальные напряжения при плоском поперечном изгибе определяются следующим образом:

s

J

= ^M(x) y , (8.5) z

где M(x) – изгибающий момент, действующий в рассматриваемом сечении

,определяется из эпюры M(x); J_z – осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси z ; y– расстояние от точки, в которой определяем s, до нейтральной оси.

Нейтральная ось- ось z.

Из формулы (8.5) следует, что самые опасные точки сечения будут находиться на расстоянии y_max от нейтральной оси z; в этом случае формула (8.5) может быть написана так:

M(x)

m

J

ax max z

^Jz =W

max

(8.6)

(8.7)

3

s

=

W

где W_z – геометрическая моментом сопротивления, (м )

Для опасных точек сечения формула (8.5) принимает вид:

характеристика сечения,

(наиболее удаленных от

называется осевым

нейтральной оси z)

M(x) max

z

(8.8)

В опасном сечении балки, где на эпюре внутреннего изгибающего момента наблюдается максимальное значение, т.е. M(x)max , будут находиться точки ,имеющие наибольшее значение нормальных напряжений s_max:

_m

s

z

_ax ⁼ _W ^£[ ] ^(8.9)

Выражение (8.9) называется условием прочности при плоском поперечном изгибе.

Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе определяются по формуле Журавского:

t

z

= _Jz _×b(y) , (8.10)

где, Q(x) – поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении;

берем с эпюры нейтральной оси

Q(x); J_z– z; S^отс –

осевой момент инерции сечения относительно статический момент площади отсеченной части

с

z

ечения на уровне точки, в которой определяем t; b(y) (м) – ширина сечения на уровне точки, в которой определяем t.

8.3 Главные напряжения при плоском поперечном изгибе

Рассмотрим отрезок балки, испытывающей плоский поперечный изгиб, выделенный двумя сечениями I-I и II-II на бесконечно малом расстоянии dx (рис 8.5).

Рис 8.5

Изгибающий момент М(x) в поперечных сечениях этого отрезка балки – отрицательный, т.е. верхние волокна растянуты, нижние – сжаты. В окрестностях точек a, b, c, d, e, взятых на различном расстоянии от оси X балки, мысленно вырежем элементарные кубики с бесконечно малым размером ребра, боковые стенки которых совпадают с нормальным сечением балки. Из рис 8.5 следует, что материал балки в этих точках находится в плоском напряженном состоянии, а присутствие касательных напряжений t на гранях элементов указывает на то, что эти площадки не главные, значит значения нормальных напряжений, действующие в них, не являются главными. Главные площадки в окрестностях этих точек будут повернуты по отношению к этим площадкам на Ða. Нахождение этих площадок и действующих в них главных напряжений определяем по формуле (19), полученной при решении обратной задачи плоского напряженного состояния (см. раздел теория напряженного состояния)

_m

s

t

2

_ax = ¹( ± s² +4 ² ) (8.11) min