7. Геометрические характеристики плоских сечений

Деформации и напряжения в брусе существенно зависят от размеров и формы поперечного сечения. Во всех расчетных формулах присутствуют геометрические характеристики этих сечений. При осевом растяжения (сжатии) такой характеристикой является площадь сечения F.В теории кручения такими геометрическими характеристиками являются полярный момент инерции I_P и полярный момент сопротивления W_P. Для расчётов используются и другие геометрические характеристики сечений, которые будут рассмотрены ниже для сечения произвольной формы в системе координат (yoz) (рис.7.1).

Рис.7.1.

Для сечения произвольной формы в системе координат (yoz) ( рис. 7.1):

1– Площадь плоского сечения – F . Размерность – единицы длины во второй степени - [м² , см² и пр.]

^{F =} ò^{dF (7.1)} F

dF – элементарная площадка, имеющая координаты (y,z); C – центр тяжести сечения; r - расстояние от центра тяжести сечения до начала координат.

2 - Статические моменты площади фигуры относительно осей y и z определяются следующим образом:

å

c

n

å

c

n

^{Sy =} ò^{zdF ;} F

^{Sz =} ò^{ydF (7.2)} F

Размерность – единицы длины в третьей степени - [м³ , см³ и пр.]

. Величина статического момента может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

Через статические моменты площади фигуры могут быть определены координаты центра тяжести составной фигуры:

n

S_yi

z = ⁱ⁼¹

å

F

_i ^; i=1

n

S_zi

y = ⁱ⁼¹

å

F

_i i=1

(7.3)

Если сечение можно разбить на простые фигуры, то статический момент сложной фигуры относительно какой-то оси может быть рассчитан как сумма статических моментов относительно этой оси каждой из простых фигур (рис.7.2).

Рис.7.2

Фигуру (рис.7.2) разобьем на прямоугольник и треугольник. Статический момент площади этой фигуры относительно оси z может быть вычислен как :

S

z z

_z = S^I + S^II _(7.4)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.

3. Осевые моменты инерции фигуры относительно осей у и z определяются следующим образом:

^{Jy =} ò^z2^{dF ;} F

^{Jz =} ò^y2^{dF (7.5)} F

Размерность – единицы длины в четвёрной степени - [м⁴ , см⁴ и пр.]

Величина осевого момента может быть только положительной.

4.Центробежный момент инерции фигуры относительно осей у и z определяется следующим образом:

^{Jyz =} ò^{yzdF (7.6)} F

Размерность – единицы длины в четвёрной степени - [м⁴ , см⁴ и пр.]

Величина центробежного момента может отрицательной и равной нулю. Равенство нулю инерции указывает на то, что оси y и z – главные оси.

быть положительной, центробежного момента

Оси, проходящие через центр центробежный момент равен нулю,

тяжести и относительно которых называются главными центральными

осями.

5. Полярный момент инерции относительно начала координат (полюса) определяется следующим образом:

^{Jr =} ò^r2^{dF (7.7)} F

Из рис.7.1:

r² = y² + z² _{, тогда}

J_p = J_y + J_{z (7.8)}

Размерность – единицы длины в четвёрной степени - [м⁴ , см⁴ и пр.]

Величина полярного момента может быть только положительной.

6. Радиусы инерции сечения определяются следующим образом:

i_y =

J_y

F

_; i_z =

J_z F

(7.9)

Размерность – единицы длины в первой степени - [м, см и пр.]

Указанные геометрические характеристики (7.1-7.6) зависят не только от формы и размеров сечения, но также и от расположения осей, относительно которых они рассчитываются.

Относительно произвольно расположенной оси величина моментов инерции может быть определена, следуя двум правилам:

1. переход к параллельным осям;

2. переход к повернутым осям.

За вспомогательные центральные оси фигуры инерции известны.

(отправные) оси удобно выбирать собственные или оси, относительно которых значения моментов

Для плоских сечений, имеющих форму треугольника, круга, прямоугольника значения моментов инерции относительно центральных осей вычисляются через ширину (b), высоту (h) или радиус (R) сечения (см. [2-4]). Там же приведены выводы формул при переходе к параллельно расположенным и повернутым осям.

В этом разделе необходимо обратить внимание на понятие главных центральных осей инерции плоских сечений.

Из всех пар взаимноперпендикулярных осей, проведенных через центр тяжести плоской фигуры, только одна пара осей будет являться главными центральными осями. Эти оси обладают свойством экстремальности осевых моментов инерции, т. е. относительно одной из этих осей осевой момент инерции имеет минимальное значение (J_min )– это ось наименьшей жесткости; относительно другой оси – максимальное значение (J_max)– эта ось наибольшей жесткости.

Эти значения осевых моментов инерции J_min и J_max в дальнейшем встретятся в формулах расчета балок на изгиб и при расчетах на устойчивость.

При решении задачи 5, в которой необходимо определить положение главных центральных осей инерции и вычислить значения главных моментов инерции составного сечения, будут использованы все, перечисленные выше, геометрические характеристики и формулы.

ЗАДАЧА №5

Дано: швеллер №18а и уголок 90´90´8. Найти положение главных центральных осей инерции составного сечения и вычислить значение главных моментов инерции сечения, составленного из указанных профилей (см. рис.1).

РЕШЕНИЕ

1. Разобьем составную фигуру на две: швеллер (I) и уголок (II). Выпишем необходимые данные из сортамента (ГОСТ 8240 – 56 и 8509 – 57):

д

1

1 1

ля швеллера № 18а: F = 22,2см² ; J_z =105см⁴ ; J_y =1190см⁴ ; y₀ = 2,13см ;

д

2

ля уголка 90´90´8: F =13,9см² ; J_y2 = J_z2 =106см² ;J_max =168см⁴ ; J_min = 43,8см⁴ ; z₀ = 2,51см;

П

1 2

лощадь составного сечения F = F + F = 22,2+13,9 =36,1см² . (1)

Рис.1 Составное сечение

2. Вычисление центра тяжести составного сечения.

Для вычисления координат центра тяжести составной фигуры необходимо выбрать вспомогательные оси. В качестве вспомогательных осей выбираем

2

å å

F F

z z z y y y

главные центральные оси швеллера y₁ и z₁. Расстояния от этих осей до центра тяжести уголка:

с = y₀ + z₀ = 2,13+2,51= 4,64cм (2)

d = ^h − z₀ = 9−2,51= 6,49см.

Координаты центра тяжести y_{c ,}z_c статические моменты составного

вспомогательных осей:

_y

1 1

c ₌ å^S_{z ; z}c ₌ å^S_{y ,}

где S = S^I + S^II ; S = S^I + S^II ;

1 1 1 1 1 1

составного сечения вычислим через сечения относительно выбранных

(3)

å

1 2

^{F = F + F (4)}

С

å å

татические моменты швеллера (I) относительно осей y₁ и z₁:

S

y z

^I = 0 S^I = 0, (5)

1 1

т.к. оси y₁ и z₁ – центральные оси швеллера.

Статические моменты уголка (II)относительно осей y₁ и z₁:

S

2

y

^II = F d =13,9×6,49 = 90см³ (6)

1

S

z

2

^II = F c =13,9×4,64 = 64,5см³ .

1

Расстояния от осей y₁ и z₁ до центра тяжести сечения С, т.е. координаты центра тяжести составного сечения, вычислим по формуле (3) c учетом полученных значений (5) и (6).

y

z

1

å

F

36,1

_c = ^SII = ^64,5 @1,80см; (7)

I

S

90

I

z

1

å

_c = ^y _F = _36,1 @ 2,50см .

Точкой С обозначим центр тяжести составной фигуры

3. Проведем через центр тяжести взаимно перпендикулярные центральные оси составного сечения z_C и y_C , параллельные осям y₁ и z₁ и осям y₂ и z₂ .

4. Для определения положения главных центральных осей составного сечения необходимо повернуть оси z_C y_C на угол a, величина которого находится по формуле:

t

a

y

−

J

z y

g2 = _J^{2J сzc} ₍₈₎

c с

где ^J_yczc – центробежный момент инерции составного сечения относительно центральных осей у_с, z_c.;

^J_{zc ,} ^J_yc – осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей z_c, у_с.

5. Определение осевых моментов инерции составного сечения ^J_zc и ^J_yc относительно центральных осей z_C ,y_C.

,

y y

y

y

y

y

z z

z

z

z

z

Пользуясь формулами перехода к параллельным осям, определим осевые моменты инерции составного сечения относительно центральных осей y_C и z_C как сумму осевых моментов инерции относительно этих осей каждой из фигур (швеллера и уголка).

J_yс

= J^I + J^II с с

(9)

где ^J_yc - осевой момент инерции составного сечения относительно

центральной оси у_с;

J^I

c

– осевой момент инерции швеллера относительно

центральной оси у_{с ;}

J^II

c

– осевой момент инерции уголка относительно

центральной оси у_с.

Для определения осевого момента инерции

J^I

c

используем формулу

перехода от оси у₁ к оси у_с, z_c – расстояние между этими осями; для

определения момента инерции

J^II

c

используем формулу перехода от оси у₂ к

оси у_с, f – расстояние между этими осями.

J

1

y y 1 c

^I_с = J^I + F ×z² =1190+22,2×2,5² =1328,75_см⁴

J

y y 2

^II = J^II + F × f ² =106+13,9(6,49−2,5)² =326,25см⁴

с 2

J

y

=1328,75+326,25=1655см⁴

с

J_zс

= J^I + J^II с с

, (10)

где ^J_zc – осевой момент инерции составного сечения относительно

центральной оси z_c;

J^I

c

– осевой момент инерции швеллера относительно

центральной оси z_c ;

J^II

c

– осевой момент инерции уголка относительно

центральной оси z_c .

Для определения осевого момента инерции

J^I

c

используем формулу

перехода от оси z₁ к оси z_c, y_c – расстояние между этими осями ; для

определения осевого момента инерции

J^II

c

используем формулу перехода от

оси z₂ к оси z_c, b – расстояние между этими осями.

J

z 1 c

с 1

^I = J_z + F × y² =105+22,2×1,8² =176,93cм⁴

J

z 2

с

^II = J_z2 + F ×b² =106+13,9×2,84² = 218,11см⁴

J

z

=176,9+218,1=395см⁴

с

_{6. Определение центробежного момента инерции составного сечения} J_yczc относительно центральных осей y_C, z_C.

J

J

J

J

1 1

1

J

2

Центробежный момент инерции составного сечения ^J_yczc относительно

центральных осей z_c , у_с определим как сумму центробежных моментов инерции относительно этих осей каждой из фигур (швеллера и уголка).

J_yczc

= J^I + J^II y_cz_c y_cz_c

, (11)

где ^J_yczc - центробежный момент инерции составного сечения

относительно центральных осей у_с, z_c;

I

y_cz_c

– центробежный момент инерции

швеллера относительно центральных осей у_с, z_c;

II

y_cz_c

– центробежный

момент инерции уголка относительно центральных осей у_с, z_c.

Для определения центробежного момента инерции

I y_cz_c

используем

ф

1 1

ормулу перехода от осей у₁, z₁ к осям у_с, z_c; у_с, z_c – расстояния между этими осями. Так как оси y₁, z₁ – главные центральные оси швеллера, то ^J_{y z} =0.

I

y_cz_c

= J_{y z} + F ×z_c × y_c = 22,2×2,5×1,8 =101,25cм⁴

Для определения центробежного момента инерции

II

y_cz_c

используем

формулу перехода от осей у₂, z₂ к осям у_с, z_c ; b,f - расстояния между этими осями.

J^II

y_cz_c

= J_y2z2 + F ×b× f

Оси y₂ и z₂ уголка – не главные, т.е. центробежный момент инерции J_{y2z2 относительно этих осей не равен нулю. Для вычисления} J_y2z2

используем значения осевых моментов инерции уголка J_min и J_max относительно его главных центральных осей и формулу перехода к повернутым осям y₂ и z₂.

Оси уголка J_max , J_min поворачиваем в положение осей y₂ и z₂ на угол b (см. рис.1).

J

2

_y2_z2 = ^{Jmax − Jmin} sin2 _{, где Ðb = 45°}

J

2

y z

с

= ^168−43,8sin90^o = 62,1 м⁴

2 2

J

y z

^II = 62,1+13,9×2,84×3,99 = 219,6см⁴

с с

Таким образом, центробежный момент инерции составного сечения относительно центральных осей y_C и z_C будет равен:

J_yсzс =101,25+219,6 =320,8см⁴

7

J

. Определение угла наклона главных центральных осей инерции y, z составного сечения к центральным осям y_с и z_с:

t

¢

с

z

J

a

y

2×320,8

g2 = _J² ₋^сzс yс = _395−1655 = −0,509_,

a

o

2

= −27^o ; a = −13 30 ; sin = −0,233; cos = 0,972 ;

s

a

in2 = −0,454; cos2 = 0,891.

7. Изображение положения главных центральных осей составного сечения y, z

О

o

т оси y_C откладываем по часовой стрелке угол a, т. к. угол имеет отрицательное значение (a = −13 30 ) и из центра тяжести сечения С проводим главные центральные оси составного сечения y, z .

8. Определение главных моментов инерции сечения J_Y , J_z .

Д

a

ля вычисления значений главных моментов инерции сечения используются формулы перехода к повернутым осям:

J

a

_y = J_yс cos² a + J_zс sin² a − J_yсzс sin2 =1655×0,972² +395×0,233² +320,8×0,454 =1732см⁴ ; J_z = J_yс sin² a + J_zс cos² a + J_yсzс sin2 =1655×0,233² +395×0,972² −320,8×0,454 = 317см⁴ .

9. Проведение проверки полученных результатов. 1) J_y + J_z = J_yc + J_zc ;

J_y + J_z =1732+317 = 2049см⁴ ;

J

−

_yс + J_zс =1655+395 = 2050см⁴ 2) J_yz = 0;

J

a a

2

_yz = ^Jyс ₂ ^Jzс sin2 + J_yczc cos2 =^1655−395×(−0,454)+320,8×0,891» 0.

Ответ: J_max = 1732 см⁴, J_min = 317 cм⁴.