4. Свойства электростатических полей.

1. Работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле.

Пусть, в поле заряда q помещается заряд q₀, который под действием сил поля заряда начнется перемещаться (рис.15.1).

Рис.15.1

Элементарная работа, совершаемая при этом будет равна:

поскольку

или:

. (3.4.1)

Из (3.4.1) следует, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы пути перехода, а зависит от положения начальной и конечной точек перемещения, т.е. электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а лектростатические силы консервативными. В случае, когда заряд q₀ перемещается в поле системы зарядов, то на движущийся заряд по принципу суперпозиций действует сила и работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ соответствующих сил:

, (3.4.2)

где r_i1 и r_i2 расстояния от заряда q_i до начальной и конечной точки перемещение заряда q₀. Из формулы (3.4.1) также следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда в электростатическом поле по замкнутому пути, равна нулю, т.е. . Если перемещенный заряд, принять за единицу, то (3.4.2) можно записать:

или

. (3.4.3)

Этот интеграл называется циркуляцией вектора напряженности вдоль замкнутого контура.

Из теоремы о циркуляции вектора можно сделать несколько важных выводов:

1. Линии напряженности поля не могут быть замкнутыми.

Действительно, если это не так и какая-то линия вектора замкнута, то взяв циркуляцию вдоль этой линии мы придем к противоречию с теорией (3.4.3)

2. Существование электростатического поля вида, показанного на рис. 15.2 невозможно.

Рис.15.2

В самом деле, если применить к этому полю теорему о циркуляции вектора по замкнутому контуру, показанному на рис. 15.2 пунктиром, то она была бы отлична от нуля, что противоречит теореме.

2. Потенциал электростатического поля.

Запишем формулу (3.4.1) следующим образом:

, (3.4.4)

откуда, вспоминая, что работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии можно прийти к следующему выражению для потенциальной энергии заряда q₀ в поле заряда q:

. (3.4.5)

Значение константы С в выражении (3.4.5) выбирается так, чтобы при удалении заряда q₀ в бесконечность потенциальная энергия обращалась в нуль. При таком условии потенциальная энергия заряда q_0, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна q₀

. (3.4.6)

С другой стороны, последнюю формулу можно считать выражением энергии заряда q, находящегося в поле заряда q₀. Таким образом, энергия, выражаемая формулой (3.4.6) является взаимной энергией зарядов q и q_{0 .}

Из формулы (3.4.6) следует, что отношение W/q₀ для данной точки поля не зависит от величины заряда q₀. Поэтому это отношение может служить энергетической характеристикой электростатического поля, которая называется потенциалом поля.

. (3.4.7)

Из (3.4.7) следует, что потенциал какой-либо точки поля численно равняется потенциальной энергии единичного, положительного заряда, помещенного в эту точку поля. Из выражений (3.4.6) и (3.4.7) следует, что потенциал поля точечного заряда q равен:

[В]. (3.4.8)

Работу по перемещению заряда из одной точки в другую (3.4.4), с учетом формулы (3.4.8), можно записать:

, (3.4.9)

т.е. работа по перемещению заряда в электрическом поле, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках перемещения. Если поле создается не одним зарядом, а системой зарядов q₁, q₂, …q_n, то с учетом формулы (3.4.2) для потенциальной энергии заряда q₀ в поле системы зарядов получим:

(3.4.10)

из которого уже следует, что:

. (3.4.11)

Сопоставляя формулы (3.4.8) и (3.4.11) можно сделать вывод, что потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Здесь вспомним, что вторая характеристика электростатического поля напряженность в случае, когда поле создается системой зарядов, определялась как векторная сумма напряженностей отдельных зарядов. Если заряды, образующие систему распределены по объему с объемной плотностью , то выражение (3.4.11) можно записать в следующем виде:

, (3.4.12)

причем интегрирование производится по всему пространству, где содержатся заряды. Если заряды расположены на какой-либо поверхности S, то:

, (3.4.13)

где - поверхностная плотность заряда. dS элемент поверхности S.

3. Связь между потенциалом  и напряженностью электрического поля .

Найдем связь между двумя характеристиками электростатического поля - напряженностью и потенциалом.

Работа по перемещению заряда q₀ вдоль оси х на dx равна dA=q₀ E_х dx. С другой стороны, та же работа равна dА=q₀ d. Приравняв правые стороны этих выражений получим:

. (3.4.14)

Рассуждая аналогичным образом, для осей y и z можем вектор записать так:

, (3.4.15)

где - единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей х, у, z. Вспомнив определение градиента, последнее уравнение можно записать:

или  , (3.4.16)

т.е. напряженность поля равна антиградиенту потенциала. Графически электростатические поля можно изобразить не только с помощью силовых линий как было показано раньше (рис.14.3 и 14.4), но и с помощью так называемых эквипотенциальных поверхностей. Эквипотенциальными поверхностями называются поверхности, на которых все точки имеют одинаковые потенциалы. Если поле, например, создается точечным зарядом, то согласно формуле эквипотенциальны поверхности представляют из себя концентрические сферы (рис.15.3). Раньше мы видели, что силовые линии точечного заряда направлены по радиусам, т.е. тогда эквипотенциальные поверхности и силовые линии взаимно ортогональны.

Р ис.15.3

На рисунке силовые линии проведены пунктиром. Изменение густоты (частоты) эквипотенциальных поверхностей соответствует изменению значения потенциала. Чем дальше от заряда, тем реже эквипотенциальные поверхности. Зная направление эквипотенциальных поверхностей, можно построить силовые линии и наоборот