8. Методические указания по лабораторным занятиям

Лабораторная работа № 1

Тема: ФИЛЬТРЫ СГЛАЖИВАНИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Основные формулы

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси х

где f(t) — некоторая функция времени. Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Δs — путь, пройденный точкой за интервал времени Δt. Путь Δs в отличие от разности координат Δx = x₂ – x₁ не может убывать и принимать отрицательные значения, т. е. Δs≥0.

Проекция мгновенной скорости на ось х

Проекция среднего ускорения на ось х

Проекция мгновенного ускорения на ось х

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

где v — модуль линейной скорости; а_х и а_п — модули тангенциального и нормального ускорений; ω — модуль угловой скорости; ε — модуль углового ускорения; R — радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или

Угол между полным а и нормальным а_n ускорениями

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

где х — смещение; А — амплитуда колебаний; ω — угловая или циклическая частота; φ — начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершаю­щей гармонические колебания:

Сложение гармонических колебаний одного направ­ления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно пер­пендикулярных колебаниях,

а) , если разность фаз φ = 0;

б) , если разность фаз φ = ± π;

в) , если разность фаз φ.

Уравнение плоской бегущей волны

где у — смещение любой из точек среды с координатой х в момент t; v — скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Δφ колебаний с расстоянием Δх между точками среды, отсчитанным в направлении рас­пространения колебаний;

,

где λ — длина волны.

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью v

.

Второй закон Ньютона

где F — результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

в) сила гравитационного взаимодействия

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра­зить также через напряженность G гравитационного поля:

г) сила трения (скольжения)

где f — коэффициент трения; N — сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульса

,

или для двух тел (I = 2)

где v₁ и v₂ — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; u₁ и u₂ — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где k — жесткость пружины; х — абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействия

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии , где R — радиус Земли). Закон сохранения механической энергии

.

Работа А, совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

Основное уравнение динамики вращательного движе­ния относительно неподвижной оси z

где M_z — результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело; ε — угловое ускоре­ние; J_z — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относи­тельно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендику­лярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендику­лярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращаю­щегося относительно неподвижной оси z,

где ω — угловая скорость тела.

Закон сохранения момента импульса систем тел, вра­щающихся вокруг неподвижной оси z,

где J_z — момент инерции системы тел относительно оси z; ω — угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или