Закон полного тока для магнитного поля в веществе.

Сформулируем этот закон: циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной ₀ на алгебраическую сумму макротоков (токов проводимости) и микротоков (молекулярных токов), охватываемых этим контуром.

, (4.9.21)

где  - алгебраическая сумма токов проводимости,  - алгебраическая сумма молекулярных токов. Вектор индукции магнитного поля описывает результирующее поле, которое создано как токами проводимости, так и микроскопическими токами.

10. Уравнение максвелла Первое уравнение Максвелла.

Согласно основному закону явления электромагнитной индукции установленному Фарадеем, э.д.с. индукции

, (4.10.1)

где -поток магнитной индукции.

С другой стороны, э.д.с., действующая в замкнутом контуре, по определению

, (4.10.2)

где - проекция вектора на направление . Приравнивая правые части (4.10.1) и (4.10.2), получим

. (4.10.3)

Частная производная учитывает зависимость потока магнитной индукции только от времени. Поток магнитной индукции равен :

, (4.10.4)

где S - площадь поверхности, опирающейся на замкнутый контур, - проекция вектора магнитной индукции на направление нормали к рассматриваемой площадке.

Поэтому

. (4.10.5)

Если контур и поверхность неподвижны, то операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами:

. (4.10.6)

Из последнего уравнения, следует, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности отлична от нуля, значит электрическое поле, возбуждаемое магнитным полем, является вихревым, а не потенциальным. Силовые линии вихревого поля замкнуты. Само поле возникает в пространстве независимо от наличия или отсутствия в нем проводящего контура.

Равенство (4.10.6) называется первым уравнением Максвелла.

Второе уравнение Максвелла.

Согласно рассмотренному выше первому уравнению Максвелла изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Максвелл считал, что электрическое и магнитное поля всегда связаны, поэтому изменяющееся со временем электрическое поле должно приводить к появлению магнитного поля.

Предположение Максвелла нашло подтверждение. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис.24.1).

+ -

I_см

I_пр

I_ïð

А / ~ / В

Рис. 24.1

В этой цепи токи проводимости, создаваемые движущимися зарядами, текут по проводникам и отсутствуют в зазоре между обкладками конденсатора. В то же время между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора существует переменное электрическое поле, которое в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками протекал ток проводимости силой, равной силе тока в подводящих проводах.

Чтобы установить количественные соотношения между изменяющимся электрическим полем и возникающим магнитным полем, Максвелл ввел понятие тока смещения. Током смещения Максвелл назвал переменное электрическое поле, т.к. оно создает в пространстве магнитное поле, как и любой ток. Т.к. I_пр = I_см, то и плотность тока проводимости _пр= _см. Плотность тока проводимости вблизи обкладок конденсатора

, (4.10.7)

где - поверхностная плотность зарядов, S- площадь обкладок. Тогда

.

Электрическое поле можно характеризовать вектором электрического смещения . Из электростатики известно, что электрическое смещение связано с поверхностной плотностью заряда на обкладках конденсатора соотношением

D= .

Плотность тока смещения с учетом этого соотношения равна

. (4.10.8)

Знак частной производной говорит о том, что магнитное поле определяется только быстротой изменения электрического смещения во времени.

Можно показать, что направление векторов и всегда совпадают с направлением вектора , поэтому равенство (4.10.8) можно записать в векторной форме:

. (4.10.9)

Токи проводимости и смещения соответственно равны

I_пр=j_пр и I_см =j_см .

При расчете магнитных полей необходимо брать полный ток

. (4.10.10)

Так как

DdS = dФ_е,

где dФ_е- элементарный поток электрического смещения через площадку , то:

. (4.10.11)

Введение: Понятие тока смещения и полного тока дает возможность утверждать, что все цепи переменного тока всегда замкнуты: ток проводимости обрывается на концах проводника, а в диэлектриках и вакууме между концами проводника ток смещения замыкает ток проводимости. Если полный ток равен

, (4.10.12)

то теорема о циркуляции вектора напряженности может быть записана так:

(4.10.13)

или через плотности токов проводимости и смещения в векторной форме

. (4.10.14)

Это второе уравнение Максвелла, утверждающее факт появления вихревого магнитного поля при всяком изменении электрического поля. Там, где ток проводимости отсутствует (например, между обкладками конденсатора) или им можно пренебречь по сравнению с током смещения I_см закон полного тока можно записать так

.