12. Криволинейные интегралы второго рода: основные понятия и свойства, приложение к вычислению работы поля.

Пусть функция z=f(M) определена на спрямляемой кривой γ (на дуге AB). Разобьем АВ на n частей произвольным образом точками A = M₀,M₁,M₂,...,М_n = В и на каждой из дуг М_к М_к+1 (к = 0,1,...,n- 1) выберем некоторую точку . Построим интегральные суммы

в которых ∆x_k = x_{k + 1}- x_k, ∆y_k = y_{k + 1}- y_k, ∆z_k = z_{k + 1}- z_k (x_k, y_k, z_k) - координаты точки М_к+1

Определение 1. Конечный предел интегральной суммы σ_n, вычисленный при

λ = и не зависящий ни от способа разбиения кривой γ, ни от выбора точек , называется кри­волинейным интегралом от функции f пo координате x и обозначается

Аналогично определяется криволинейный интеграл по координате у и криволинейный интеграл по координате z. Криволинейные интегралы по ко­ординатам х, у и z имеют общее название криволинейные ин­тегралы второго рода. Если кривая γ, по которой ве­дется интегрирование, плоская, не имеет самопересечений и ограни­чивает некоторую область D на плоскости Оху, то направление обхода контура γ, при котором область остается слева, называется положительным (рис. 2), противоположное - отрицательным. Интег­рал по замкнутому контуру γ обозначается .

Свойства криволинейных интегралов второго рода:

1)

₂)

₃₎

_{Док-во: В определении}

4) Если дуга состоит из двух непересекающихся частей, АВ =АС ,то

(аналогично по координатам у и z).

5)Если кривая γ, по которой ведется интегрирование, замкнутая, то величина интеграла не зависит от выбора начальной точки на ней.

Док-во:

6)Если плоская область D, ограниченная замкнутым контуром γ, разбита на две части D₁ и D₂, ограниченные контурами γ₁ и γ₂ (рис.3), то

Док-во:

(*)=(**)

Определение 2. Пусть существуют криволинейные интегра­лы второго рода от функций Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) вдоль кривой γ. Сумму этих ин­тегралов называют криволинейным интегралом второго рода об­щего вида и обозначают .

Поясним механический смысл криволи­нейного интеграла второго рода общего вида. Пусть точка движется по спрямляемой кривой γ от начального положения В₁ до положения В₂ под действием силы F(x, у, z) = Р(х, у, z) i + Q(x, у, z) j + R(x, y, z) k, зависящей только от точки приложения. Найдем работу А силы F при таком перемещении, счи­тая, что функции Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z) непрерывны на γ (рис.38).

Разобьем дугу B₁B₂ на n частей точками В₁ = M₀(x₀,y₀,z₀), M₁(x₁,y₁,z₁),..., M_n(x_n,y_n,z_n) = В₂, на каждой дуге М_кM_k+1 выберем про­извольную точку . Заменим теперь каждый криволи­нейный участок М_кM_k+1 отрезком М_кM_k+1 и условимся считать, что при движении материальной точки по отрезку М_кM_k+1 на нее дейст­вует постоянная сила . Тогда ра­бота на этом участке будет равна , где α_k - угол между векторами и М_кM_k+1. Так как М_кM_k+1 = i∆x_k + j∆y_k + k∆z_k , ∆x_k = x_k+1 - x_k, ∆y_k = y_k+1 - y_k, ∆z_k = z_k+1 - z_k , то по формуле скалярного произведения векторов ∆Ак = М_кM_k+1 = ∆x_k+ ∆y_k + + ∆z_k. Суммируя полученные выражения для ∆Ак по всем отрезкам, найдем прибли­женное значение искомой работы

Переходя к пределу этой интегральной суммы при получим искомую величину работы .