7. Теорема существования и единственности решения интегрального уравнения

с непрерывным ядром и непрерывной функцией .

Опр1. Метрическим пространством наз-ся пара , состоящая из непустого множества X эл-ов (точек) и вещественной функции , определенной для любых и удовлетворяющей условиям: 1) ; 2) ; 3)

Функция наз-ся расстоянием или метрикой на множестве X, число - расстоянием между точками x и y.

Примеры:

1) Множество вещественных чисел с метрикой = - метрическое пространство

2. - множество всех непрерывных на отрезке функуий.

определим расстояние:

Опр2. Точка x метрического пространства называется пределом последовательности точек этого пространства, если или .

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.

Опр3. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если

Опр 2. Метрическое пространство X называется полным, если в нем сходится любая фундаментальная последовательность.

Пусть - метрическое пространство и

Опр 3. Отображение f называется сжимающим отображением, если существует такое число , что

Теорема 1. Сжимающее отображение равномерно непрерывно на X.

Следствие Сжимающее отображение непрерывно на X.

Опр4. Точка называется неподвижной точкой отображения , если f(x)=x.

Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений). Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку

Пример применим теорему Банаха для док-ва существования и единственности решения интегрального уравнения , в которой - произвольный вещественный параметр, - непрерывная на известная функция, - заданная функция, непрерывная на , - искомая функция.

Решение: Рассмотрим отображение: , заданное формулой

. По определению метрики в

(максимум существует в силу т. Вейерштрасса о том, что непрерывная на отрезке функция достигает своего максимального и минимального значения ). Учитывая, что получим нер-во: . В котором при отображение F – сжатие. Пространство - полное, поэтому по теореме Банаха F имеет единственную неподвижную точку. Значит, при рассматриваемое интегральное уравнение имеет и притом единственное решение .

8. Определение оригинала функции по известному изображению: общие понятия, первая теорема разложения.

Пусть f(t) вещественная или комплексная кусочно-непрерывная функция вещественного аргумента t, определенная на всей вещественной оси, причем для отрицательных t. Пусть - комплексное число.

Определение 1. Интегралом Лапласа для функции f(t) называется выражение

(1)

Если интеграл (1) сходится, то говорят, что функция f(t) преобразуема по Лапласу. Функция F(p) = называется при этом преобразованием Лапласа или изображением функции f, а сама функция f называется оригиналом для изображения F .

Тот факт, что F(p) является изображением функции f(t), обозначается также символами или символами .

I. Линейность преобразования Лапласа. Если c₁ и c₂ - произвольные комплексные постоянные, а и - преобразуемые по Лапласу функции, то

.

2. Если интеграл (1) сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой .

3. Если при кусочно-непрерывная функция f(t) удовлетворяет неравенству

с вещественными постоянными M и , то её изображение F(p) определено для всех комплексных чисел , для которых Re p = , и является аналитической функцией. В дальнейшем для всех рассматриваемых функций это свойство предполагается выполненным.

4. Дифференцирование оригинала. Если f(t)-дифференцируемая функция, имеющая преобразуемую по Лапласу производную , то f(t) преобразуема по Лапласу, причем .

Следствие. Если функции преобразуемы по Лапласу, то

Если то предыдущие формулы принимают особенно простой вид: .

Пример. Пусть . Полагая Re и применяя формулу интегрирования по частям, получим рекуррентное соотношение

Отсюда

Таким образом, или

Определение оригинала по изображению.

Обратное преобразование Лапласа

(1)

позволяет восстановить оригинал f по его изображению F (интеграл берется по прямой ). Использовать формулу (1) для непосредственного вычисления функции f довольно трудно.

Первая теорема разложения. Пусть ряд (2)

сходится при . Тогда оригиналом для функции является функция , (3) определенная и сходящаяся при

Доказательство. Формально применив найденную ранее формулу , запишем оригинал функции F(p) в виде ряда (3). Действительно,

(4)

Р яд (2) является рядом Лорана функции F(p). Он сходится при , поэтому при любом p из области сходимости в силу необходимого признака сходимости . Значит, существует положительная постоянная М такая, что где .(там, где ряд сходится, т.е. вне этого круга). Отсюда находим оценку модулей коэффициентов ряда (3): Значит . Но ряд сходится при и его сумма . Значит, по мажорантному признаку ряд (3) сходится равномерно при и Равномерная сходимость ряда (3) обосновывает цепочку равенств (4).