- •Локальный экстремум функции двух переменных: общие понятия, необходимое и достаточное условия экстремума.
- •Обыкновенные линейные дифференциальные уравнения второго порядка: общие понятия, теоремы о виде общего решения однородного и неоднородного уравнений.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Вычет функции в изолированной особой точке и его связь с рядом Лорана.
- •Теорема Банаха
- •Теорема существования и единственности решения интегрального уравнения
- •Определение оригинала функции по известному изображению: общие понятия, первая теорема разложения.
- •Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.
- •Свертка функций: теорема об изображении свертки функций и ее приложение к решению интегральных уравнений Вольтера I и II рода.
- •11. Теорема о единственности решения уравнения при .
- •Вывод уравнения колебаний струны конечной длины
- •Р аспространение тепла на отрезке: метод разделения переменных для уравнения
- •Вывод формул для определения центра тяжести плоской кривой.
- •Вывод формул для определения центра тяжести фигуры
- •Криволинейные интегралы второго рода: основные понятия и свойства, приложение к вычислению работы поля.
- •Разложение функций в степенной ряд Тейлора: общие понятия, единственность разложения, сходимость к порождающей функции.
- •Тригонометрический ряд Фурье: общие понятия, свойство минимальности частичных сумм ряда Фурье, теорема Дирихле (без доказательства).
- •Приближенные методы решения уравнения методами хорд и касательных. Теорема о сходимости метода касательных.
- •Итерационный метод решения уравнений.
- •Численные методы решения решения систем линейны уравнений: метод простой итерации.
- •Численные методы решения задачи Коши.
- •Понятие об играх и стратегиях
- •Запись матричной игры в виде платёжной матрицы
- •Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях
- •Понятие о матричных играх со смешанным расширением
- •Доказано, что для всех игр со смешанным расширением существует оптимальная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры:
- •Решение матричных игр со смешанным расширением методами линейного программирования
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений (слу).
- •Операции над матрицами и их свойства.
- •Из определение2 следует, что складывать можно только матрицы одного размера.
- •Определители, их свойства и вычисление.
- •Величина определителя не изменится, если к элементам его любой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
- •Применение теории определителей и слу к отысканию обратной матрицы
- •Линейные пространства. Базис. Размерность
- •Свойства векторного пространства
- •Ранг матрицы, его свойства и способы вычисления ранга матрицы.
- •Теорема Кронекера – Капелли.
- •Элементарные преобразования систем линейных уравнений (слу) и равносильность слу.
- •Корни многочленов и их кратность. Основная теорема алгебры комплексных чисел и следствия из неё.
- •Корни многочленов с действительными коэффициентами. Рациональные корни целочисленных многочленов.
Понятие об играх и стратегиях
"Игра (в математике) - это идеализированная математическая модель коллективного поведения: несколько игроков влияют на исход игры, причем их интересы различны". Регулярное действие, выполняемое игроком во время игры, называется ходом. Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией.
Классификация игр:
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции заранее определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Запись матричной игры в виде платёжной матрицы
где Ai – названия стратегий игрока 1, Bj – названия стратегий игрока 2, aij – значения выигрышей игрока 1 при выборе им i – й стратегии, а игроком 2 – j – й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.
Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях
Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учётом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину
Vн = maxi minj aij ,
или найти минимальные значения по каждой из строк платёжной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина Vн называется максимином матрицы или нижней ценой игры.
Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока 2. Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение
Vв = minj maxi aij .
Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платёжной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина Vв называется минимаксом матрицы или верхней ценой игры.
В случае, если значения Vн и Vв не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов aij ) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве Vн = Vв = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях, а стратегии, в которых достигается V - оптимальными чистыми стратегиями. Величина V называется чистой ценой игры. [8]. На рисунке существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A1, а для игрока 2 – стратегия B4.