12. Вывод формул для определения центра тяжести фигуры

Поверхностной плотно­стью пластины (плоской, замкнутой, квадрируемой фигуры, имею­щей массу) в точке М называют предел

,где - область пластины, содержащая точку М, m( ) - масса области , S( ) - площадь области Ω.

Обозначение Ω → М означает, что область Ω стя­гивается в точку М.

Будем считать, что функция δ(М) = δ (х, у) непрерывна в области D, расположенной на плоскости Оху и занятой пластиной. Тогда, разбив область D на части, полу­чим для определения массы m плас­тины формулу

(1),(λ - ранг разбиения области D).

П ример. Найти массу m кольца а² ≤ х² + у² ≤ b², если плотность δ(х, у) кольца в каждой точке обратно пропорциональна расстоянию этой точки от начала координат, а плотность на внутренней окруж­ности равна единице. Решение. По условию, δ (х, у) = , т. е. = 1, т. е. к =а.

Значит, δ = . По формуле (1)

Статическим моментом системы n материальных точек с массами m₁, m₂, ..., m_n лежащих в одной плоскости относительно оси l (лежащей в той же плоскости) называется сумма , где ρ_i - расстояние i-й точки до оси l, снабженное знаком „+" или „-". Выбор знака зависит от того, с какой стороны от оси l лежит точка. Например, mх и mу - статические моменты точки Р(х, у) массой m относительно осей Оу и Ох соответственно.

Определение I. Центром тяжести системы n материальных точек называется точка, обладающая следующим свойством: если в ней сосредоточить всю массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всей системы относительно этой же оси.

Рассмотрим теперь плоскую, замкнутую, квадрируемую фигуру D с непрерывной (кусочно-непрерывной) поверхностной плотностью δ (х, у). Разобьем D на квадрируемые непересекающиеся фигуры D_i с площадями S_i. В каждой из таких фигур выберем произвольную точ­ку Mi (х_i ,у_i) и сосредоточим в ней массу m = δ(х_i ,у_i) S_i. Статические моменты и полученной таким образом системы n матери­альных точек Mi относительно осей Ох и Оу будут задаваться фор­мулами = , = . (2) Устремим ранг разбиения λ к нулю. Тогда пределы М_х = и M_v = , являющиеся пределами интегральных сумм (2) непрерывных (кусочно-непрерывных) функций уδ(х, у) и хδ(х, у),не будут зависеть от способа разбиения фигуры D и выбора точек M_i т. е. , (3). Числа М_х и М_у называются статическими моментами пластины (фигуры) D с поверхностной плотностью δ (х, у) относительно осей координат Ох и Оу соответственно.

Теперь не трудно найти координаты (х_с, у_с) центра тяжести пластины. Действительно, из определения центра тяжести,М_x = mу_с, М_y = mх_с, где m - масса пластины. Поэтому из формул (1) и (3)

, _{(4) .}

В частности, если плотность δ (х, у) пластины постоянна, формулы (4) упрощаются:

_, - координаты центра тяжести фигуры, если она однородная.