22. Корни многочленов с действительными коэффициентами. Рациональные корни целочисленных многочленов.

Установим связь между коэффициентами многочлена и его корнями.

Определение 1. Элемент называется корнем многочлена , если значение многочлена в точке c равно нулю( ).

Теорема. Если – корень многочлена , то и комплексно сопряжённое ему число также является корнем многочлена .

Доказательство. Пусть и – корень многочлена .

Тогда по определению 1  .

Перейдём к комплексно сопряжённым числам:

Воспользуемся свойствами для комплексно сопряжённых чисел:

, если то .

Тогда .

Таким образом, получили, что . По определению 1 является корнем многочлена .

Определение. Многочлен D с коэффициентами из поля P, т.е. называется наибольшим общим делителем многочленов , если выполняются условия:

1. D является общим делителем многочленов f и g, т.е. D делит f ( ) и D делит g ( );

2. D делится на любой общий делитель многочленов f и g, т.е. если

Определение. Два многочлена f и g называются взаимно простыми, если их НОД – многочлен нулевой степени (НОД – элемент поля P, не равный 0). Обозначается (F, G)=1.

Теорема. Пусть – многочлен с целыми коэффициентами. – несократимая дробь . Тогда, если является корнем многочлена , то

1. ;

2. .

Доказательство. Пусть – корень многочлена , тогда ,

.

Умножим обе части последнего равенства на , получим: .

Рассмотрим последнее равенство:

1. Так как , то вся сумма делится на и все слагаемые кроме последнего также делятся на , тогда по свойствам делимости и это исключительное слагаемое делится на , т.е. . По усл. , тогда по св-ам делимости , тогда .

2. Так как , т. е. вся сумма делится на и все слагаемые кроме первого также делятся на , тогда по свойствам делимости и это исключительное слагаемое делится на , т.е. . Так как , тогда по свойствам делимости , тогда .