12. Разложение функций в степенной ряд Тейлора: общие понятия, единственность разложения, сходимость к порождающей функции.

Определение 1. Говорят, что функция f на множестве D разлагается в степенной ряд по степеням (х-x₀), если для всех х D (1), т. е. функция f на множестве D является суммой этого степенного ряда.

Определение 2. Степенные ряды и называются равными, если .

Теорема 1 (единственность разложения). Если функция f в интервале (х₀- r, х₀ + r) разлагается в степенной ряд (1), то такое разложение единственно.

Доказательство. Пусть выполняется равенство (1). Найдем коэффициенты с_k. Функция f(x) бесконечно диффе­ренцируема как сумма степенного ряда. Поэтому

=с₁ + 2с₂(x-x₀) + 3с₃(x-x₀)² + …,

= 2с₂ + 3* 2*с₃(x-x₀) + …,

……………………………………………………………… (2)

=

…………………………………………………………………

Полагая в равенствах (1) и (2) х = х₀, получим

, , ,…, ,… (3)

Коэффициенты степенного ряда (1) формулами (3) определяются однозначно, поэтому разложение (1) единственно. Теорема доказана.

Определение 3. Рядом Тейлора функции f называется сте­пенной ряд (1) с коэффициентами (3), т. е. ряд

f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … =

Если х₀ = 0, ряд

f(0) + x + x² + … = назьвается рядом Маклорена.

Возникает вопрос: когда функция, порождающая ряд Тейлора, является его суммой?

Ответ легко получить, используя формулу Тейлора с остаточным членом Rn(х) в форме Лагранжа:

f(x) = f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … + + R_n(x),

R_n(x) = , c = x₀ + θ(x-x₀) , 0 < θ < 1.

Теорема 2. Для того чтобы ряд Тейлора функции f cxoдился к f(x) в интервале (х₀ - r, х₀ + r), необходимо и достаточ­но, чтобы остаточный член R_n(x) формулы Тейлора при любом x (х₀ - r, х₀ + r) стремился к нулю при n .

Доказательство. 1)Необходимость. Перепишем формулу Тейлора в виде

f(х) = S_n(х) + R_n (х), где S_n (x) = , n – я частичная сумма ряда Тейлора функции f. Если ряд Тейлора функции f сходится к f(x) при любом x (х₀ - r, х₀ + r), то, по определению, = f(x) и, следовательно, R_n (x) = f(x) - S_n (x) 0.

2) Достаточность. Пусть x (х₀ - r, х₀ + r) [R_n (x) 0].

Значит, = , т.е. S_n (x) f(x), что и требовалось доказать.

12. Тригонометрический ряд Фурье: общие понятия, свойство минимальности частичных сумм ряда Фурье, теорема Дирихле (без доказательства).

Определение 1. Система функций заданных и интегрируемых с квадратом на промежутке [а, b], называется ортогональной системой на [а, b], если

, (1) (2)

Если, кроме того, = 1 для любого натурального n, система функций называется ортонормированной.

По любой ортогональной на [а, b] системе легко построить ортонормированную систему ; достаточно взять = (n = 1,2,…).

Система функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,..., cosnx, sinnx,... является ортогональной на отрезке

Опp2. Пусть - ортонормированная на [а, b] система функций. Если с_n= (n = 1,2,...), ряд (6) называется рядом Фурье функции f относительно системы . Числа с_n называются коэффициентами Фурье ряда (6).

Частичные суммы ряда Фурье функции f относи­тельно произвольной ортонормированной системы обладают важным cв-ом - свойством минимальности.

Теорема 1. Пусть - ортонормированная система функций на отрезке [a, b]. Если S_n(x) = - n-я частичная сумма ряда Фурье функции f и функция u_n (х) = ,то (7)

при любых коэффициентах υ_k, причем равенство достигается лишь тогда, когда с_k = υ_n (к= 1,.., n).

Доказательство.

Система ортонормированная, поэтому

Значит, (8)

Правая часть последнего равенства достигает минимума, тогда, когда υ_к = с_к (к = 1, 2,.,., n). Отсюда следует неравенство (7), Теорема доказана.

Следствие 1. Положив в (8) u_n (х) = S_n(x), получим тождество Бесселя

(9)

Следствие 2. Неравенство (7) показывает, что функция S_n(х) дает наилучшее среднеквадратическое приближение к функции f(x) среди функций вида . Пусть функция f определена и интегрируема на отрезке [- , ]. Составим тригонометрический ряд (1) коэффициенты которого определим следующим образом:

, , (n = 1, 2, …). (2)

Определение 1. Тригонометрический ряд (1), коэффициенты а₀, а_n, b_n (n = 1, 2, ...) которого определяются формулами (2), называ­ется тригонометрическим рядом Фурье функции f.

Таким образом, тригонометрический ряд Фурье — это ряд Фурье по ортонормированной системе (3)

Оказывается, если функция f удовлетворяет не очень обремени­тельным требованиям, ряд Фурье (1)-(2) сходится во всех точках отрезка [- , ], а его сумма совпадает с функцией f, за исключением разве что некоторого конечного числа точек.

Один из наборов таких требований дается следующей теоремой.

Теорема 1 (Дирихле) . Если функция а, определенная на [- , ], обладает свойствами:

1. имеет не более конечного числа точек разрыва первого рода;

2. имеет конечный правосторонний предел в точке - и конечный левосторонний предел в точке ;

3. имеет конечное количество промежутков монотонности,

то ряд Фурье (1)-(2) функции f сходится к f(x) в каждой точке непрерывности функции, к числу в каждой точке разрыва х₀ к числу на концах промежутка.

Замечание 1. В условиях теоремы функция определена лишь на отрезке [- , ]. В то же время ее ряд Фурье определен на всей ве­щественной оси и его сумма совпадает с 2 - периодическим продол­жением исходной функции в каждой точке непрерывности получен­ной функции.

Замечание 2. Задачу о разложения функции f(x) в ряд Фурье на произвольном отрезке

[a, b] заменой легко свести к рассмотренной уже аналогичной задаче для функции φ(у) = f( ) на отрезке[- , ].

Теорема 2. Если функция, заданная на [- , ], четная, коэффициенты b_n (n = 1, 2, ...) ее ряда Фурье равны нулю, если нечетная, то равны нулю коэффициенты а_n (n = 0,1, 2,...).

19 .ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

распределение выборки, - распределение вероятностей, к-рое определяется по выборке для оценивания истинного распределения. Пусть результаты наблюдений Х ₁, . . ., Х _п - взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения и пусть X₍₁₎< X₍₂₎< . . . <X_(n)- соответствующий вариационный ряд. Эмпирическим распределением, соответствующим Х ₁, . . ., Х _п, наз. дискретное распределение, приписывающее каждому значению Х _k вероятность 1/n. Функция Э. р. наз. эмпирической функцией; распределения, является ступенчатой функцией со скачками, кратными 1/п, в точках, определяемых величинами Х (1), . . ., Х _(п):

При фиксированных значениях Х ₁, . . ., Х _п функция обладает всеми свойствами обычной функции распределения. При каждом фиксированном действительном хфункция является случайной величиной как функция Х ₁, . . ., Х _п. Таким образом, Э. р., соответствующее выборке Х ₁, . . ., Х _п, задается семейством случайных величин зависящих от действительного параметра х. При этом для фиксированного x

и

В соответствии с законом больших чисел при каждом х. Ото означает,

что - несмещенная и состоятельная оценка функции распределения Функция Э. р. равномерно по хсходится с вероятностью 1 к при или, если то (теорема Гливенко - Кантелли). Величина D_n служит мерой близости к А. Н. Колмогоров (1933) нашел предельное распределение: для непрерывной функции

Если неизвестна, то для проверки гипотезы о том, что эта функция есть заданная непрерывная функция применяются критерии, основанные на статистиках типа D_n (см. Колмогорова критерий, Колмогорова- Смирнова критерий, Непараметрические методы статистики). Моменты и любые другие характеристики Э. р. наз. выборочными (эмпирическими) моментами и характеристиками, напр.:

- выборочное среднее,

- выборочная дисперсия,

- выборочный момент r- го порядка. Выборочные характеристики служат статистич. оценками соответствующих характеристик исходного распределения.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•n_i/h=n_i - сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению w_i/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии w_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна h•w_i/h=w_i - относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются в том случае, когда отличных друг от друга вариант в выборке не слишком много, или тогда, когда дискретность по тем или иным причинам существенна для исследователя. Если же интересующий нас признак генеральной совокупности Х распределен непрерывно или его дискретность нецелесообразно ( или невозможно) учитывать, то варианты группируются в интервалы.

Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

20. То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Мат. Ожиданием Д.С.В. называют сумму произведений всех ее возможных значений

на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+.+хnpn. Если Д.С.В. принимает

счетное множество возможных значений, то М(Х)=сумма по i от 1 до бесконечности

xipi, причем мат. ожидание существует, если ряд в правой части равенства

сходится абсолютно. Мат. ожидание обладает следующими свойствами: 1) Мат.

ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2) Постоянный

множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х). 3) Мат. ожидание

произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий

сомножителей: М (Х1,Х2.Хn)=M(X1)*M(X2).M(Xn). 4) Мат. ожидание суммы С.В. равно

сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+.+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+.+M(Xn).

13. Дисперсия Д.С.В. и ее свойства.

Дисперсией С.В. Х называют мат. ожидание квадрата отклонения С.В. от ее мат.

ожидания: D (X)=M[X – M(X)]*2. Дисперсию удобно вычислять по

формуле: D (X)=M (X*2) – [M (X)]*2. Дисперсия обладает следующими свойствами:

1) Д. постоянной равна нулю: D(C)=0. 2) Постоянный множитель можно выносить за

знак Д., предварительно возведя его в квадрат: D (CX)=C*2D(X). 3) Д. суммы

независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых: D (X1+X2+.+Xn) =D(X1)+D(X2)+.+D(Xn).

21. Корреляция Уравнение прямолинейно регрессии.

При линейном типе связи между двумя изучаемыми признаками кроме расчета корреляций применяется расчет коэффициента регрессии. В случае прямолинейной корреляционной связи каждому из изменений одного признака соответствует вполне определенное изменение другого признака. Однако коэффициент корреляции показывает эту связь лишь в относительных величинах - в долях единицы. С помощью же регрессионного анализа эту величину связи получают в именованных единицах. Та величина, на которую в среднем изменяется первый признак при изменении второго на единицу измерения, называется коэффициентом регрессии. В отличие от корреляционного регрессионный анализ дает более широкую информацию, поскольку вычислением двух коэффициентов регрессии R_x/y и R_у/х возможно определить как зависимость первого признака от второго, так и второго от первого. Выражение регрессионной связи с помощью уравнения позволяет по определенному значению одного признака установить значение другого признака. Коэффициент регрессии R представляет собой произведение коэффициента корреляции на отношение квадратических отклонений, вычисленных для каждого признака. Рассчитывается он по формуле R_x/y = r  где, R - коэффициент регрессии; S_Х - среднее квадратическое отклонение первого признака, который изменяется в связи с изменением второго; S_У - среднее квадратическое отклонение второго признака в связи с изменением которого изменяется первый признак; r - коэффициент корреляции между этими признаками; х - функция; у -аргумент. По этой формуле определяется величина значения х при изменении у на единицу измерения. При необходимости обратного расчета можно найти величину у при изменении х на единицу измерения по формуле: R_у/х = r  В этом случае активная роль в изменении одного признака по отношению к другому меняется, по сравнению с предыдущей формулой аргумент становится функцией и наоборот. Величины S_X и S_Y принимаются в именованном выражении. Между значениями г и R имеется четкая взаимосвязь, выражающаяся в том, что произведение регрессии х по у на регрессию у по х равно квадрату коэффициента корреляции, т. е. R_x/y  R_y/x = r² Это свидетельствует, что коэффициент корреляции представляет собой среднюю геометрическую из обоих значений коэффициентов регрессии данной выборки. Данная формула может быть использована для проверки правильности расчетов. При обработке цифрового материала на счетных машинах могут применяться развернутые формулы коэффициента