Величина определителя не изменится, если к элементам его любой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Теорема10.

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения на соответствующие элементы другой строки равна нулю.

22. Применение теории определителей и слу к отысканию обратной матрицы

Теорема Лапласа. Пусть в определителе n-го порядка выбраны произвольные к строк. Тогда этот определитель равен сумме произведений всевозможных миноров к-го порядка, которые можно составить из элементов этих строк, на соответствующие им алгебраические дополнения.

Количество миноров, составленных из элементов к строк определителя может быть достаточно велико, поэтому, когда пользуешься этой теоремой, строки следует выбирать так, чтобы большинство миноров или соответствующих алгебраических дополнений были равны нулю. Эта теорема является обобщением теоремы о разложении определителя по строке.

Теорема2. Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц.

Опр.1.Матрица называется обратной для кв-ой матрицы А, если выполняется равенство:

Теорема3. Квадратная матрица А имеет себе обратную тогда и только тогда, когда .

Док-во: 1 часть. Пусть матрица А имеет себе обратную, требуется доказать, что . Обозначим - обратная матрица,

Воспользуемся теоремой2

получили , значит

2 часть. Пусть , докажем что для А есть обратная матрица. Для каждого элемента матрицы А найдем соответствующее ему алгебраическое дополнение, из полученного алгебраического дополнения составим матрицу, сохраняя их взаимное расположение таким же, каким было расположение элементов матрицы А

матрица из алгебраических дополнений. Эту матрицу протранспонируем, получится матрица

Вычислим произведение (1)

Докажем, что . Пусть

1)

2) (по теореме: сумма произведений элементов какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения на соответствующие элементы другой строки равна нулю)

получили, что Все части равенства (1) умножим на и воспользуемся свойством умножения матрицы на число: . является обратной для матрицы А. Ч.т.д.

Вычисление обратной матрицы:

1 способ: основан на теореме 3

1. найти определитель матрицы, убедиться, что он не равен нулю;

2. для каждого элемента матрицы найти его алгебраическое дополнение;

3. из алгебраического дополнения составить матрицу и протранспонировать;

4. полученную матрицу разделить на определитель исходной.

2 способ: основан на определении обратной матрицы

Определение2.Система линейных уравнений называется Крамеровской, если она удовлетворяет двум условиям:

1. кол-во уравнений в системе равно кол-ву неизвестных;

2. определитель матрицы системы не равен нулю.

Теорема4. Пусть дана крамеровской система линейных уравнений

(2) определитель крамеровской системы

. Эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам:

, где -определители, полученные из путем замены на столбец свободных членов соответствующего 1,2,…,n-го столбца.

Введем обозначение:

Тогда систему 2 можно записать в виде матричного уравнения

(3)

В результате каждое решения матричного уравнения (3) является решением системы 2 и наоборот (каждое решение системы 2 является решением (3)).

Допустим, что уравнение (3) имеет решение. Обозначим -это решение (4)

Матрица А имеет . Значит для нее есть обратная матрица. Умножим обе части равенства (4) слева на .

Отсюда видно: . Значение для каждого неизвестного получилось только одно, то отсюда в частности следует, что если уравнение (3) и соответствующая система (2) имеет решение, то только одно.