9. Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.

Пусть f(t) вещественная или комплексная кусочно-непрерывная функция вещественного аргумента t, определенная на всей вещественной оси, причем для отрицательных t. Пусть - комплексное число.

Определение 1. Интегралом Лапласа для функции f(t) называется выражение

(1)

Если интеграл (1) сходится, то говорят, что функция f(t) преобразуема по Лапласу. Функция F(p) = называется при этом преобразованием Лапласа или изображением функции f, а сама функция f называется оригиналом для изображения F .

Тот факт, что F(p) является изображением функции f(t), обозначается также символами или символами .

I. Линейность преобразования Лапласа. Если c₁ и c₂ - произвольные комплексные постоянные, а и - преобразуемые по Лапласу функции, то

.

2. Если интеграл (1) сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой .

3. Если при кусочно-непрерывная функция f(t) удовлетворяет неравенству

с вещественными постоянными M и , то её изображение F(p) определено для всех комплексных чисел , для которых Re p = , и является аналитической функцией. В дальнейшем для всех рассматриваемых функций это свойство предполагается выполненным.

4. Дифференцирование оригинала. Если f(t)-дифференцируемая функция, имеющая преобразуемую по Лапласу производную , то f(t) преобразуема по Лапласу, причем .

Следствие. Если функции преобразуемы по Лапласу, то

Если то предыдущие формулы принимают особенно простой вид: .

Методами операционного исчисления легко решаются линейные дифференциальные уравнения. Алгоритм решения предполагает переход к уравнению для изображения, его решение, а затем определение оригинала. Особенно просто эта схема реализуется в случае уравнений с постоянными коэффициентами.

10. Свертка функций: теорема об изображении свертки функций и ее приложение к решению интегральных уравнений Вольтера I и II рода.

Пусть f(t) вещественная или комплексная кусочно-непрерывная функция вещественного аргумента t, определенная на всей вещественной оси, причем для отрицательных t. Пусть - комплексное число.

Определение 1. Интегралом Лапласа для функции f(t) называется выражение

(1)

Если интеграл (1) сходится, то говорят, что функция f(t) преобразуема по Лапласу. Функция F(p) = называется при этом преобразованием Лапласа или изображением функции f, а сама функция f называется оригиналом для изображения F .

Тот факт, что F(p) является изображением функции f(t), обозначается также символами или символами .

I. Линейность преобразования Лапласа. Если c₁ и c₂ - произвольные комплексные постоянные, а и - преобразуемые по Лапласу функции, то

.

2. Если интеграл (1) сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой .

3. Дифференцирование оригинала. Если f(t)-дифференцируемая функция, имеющая преобразуемую по Лапласу производную , то f(t) преобразуема по Лапласу, причем .

Следствие. Если функции преобразуемы по Лапласу, то

Если то предыдущие формулы принимают особенно простой вид: .

Определение. Сверткой функций f(t) и g(t), определенных при t , называется функция

. (1)

Выполнив в (1) замену переменной интегрирования по формуле , убедимся, что от перестановки функций f и g их свертка не изменяется:

= . (2)

Теорема (изображение свертки функций). Если , , то

. (3)

Доказательство. Применим к свертке (1) преобразование Лапласа:

. (4)

Интеграл, стоящий в правой части (4), абсолютно сходится и его можно рассматривать как повторный, полученный из двойного интеграла

по неограниченной области изображенной (заштрихованной) на рис.2. Изменив порядок интегрирования, получим

.

Во внутреннем интеграле в правой части выполним замену и вынесем из-под знака внутреннего интеграла множитель, не зависящий от переменной интегрирования. Тогда

.■

Интегральные уравнения.

Пусть f(t) и g(t) - известные преобразуемые по Лапласу функции, x(t) и y(t) - неизвестные функции.

Уравнение (6) называется уравнением Вольтерра первого рода.

Уравнение (7) называется уравнением Вольтерра второго рода.

Для нахождения решений этих интегральных уравнений воспользуемся теоремой об изображении свертки функций. Обозначив , , получим изображения (8)

отыскиваемых функций и . Задача будет решена, если по найденным изображениям удается восстановить оригиналы.