2. Абсолютные показатели вариации.
Для измерения размера вариации используются следующие абсолютные показатели: размах, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
а. Размах вариации.
R = Xmax − Xmin
Числовая мера показателя определяется как разность между максимальным и минимальным значением числового признака однородной статистической совокупности.
Величина его целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда, и значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда.
Такие показатели, которые представляют собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины, лишены этого недостатка.
Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.
Дисперсия.
б. Среднее линейное отклонение.
Среднее линейное отклонение определяется по формуле:
в. Показатель дисперсии. По этой формуле легче считать дисперсию, когда имеешь дело с дискретным рядом распределения.
г. Среднее квадратическое отклонение
-
x
1
0
y
Годовой удой от одной коровы |
Середина интервала |
Число коров |
|
|
|
|
|
до 2-х |
1,5 |
40 |
6 |
-1,3 |
5,2 |
1,69 |
6,76 |
2-3 |
2,5 |
20 |
5 |
-0,3 |
0,6 |
0,09 |
0,18 |
3-4 |
3,5 |
20 |
7 |
+0,7 |
1,4 |
0,49 |
0,98 |
4-5 |
4,5 |
10 |
4,5 |
+1,7 |
1,7 |
2,89 |
2,89 |
5 и более |
5,5 |
10 |
5,5 |
+2,7 |
2,7 |
7,29 |
7,29 |
Сумма |
|
|
28 |
|
11,6 |
|
18,1 |
Существуют различные причины вызывающие вариацию признака статистической совокупности. Условно можно разделить на случайные (стохастические) и неслучайные (детерминированные). Однако сочетание общей средней дисперсии, рассчитанное по совокупности в целом, не раскрывает причины, вызвавшие вариацию признака.
Для выяснения причин вариации используют аналитическую группировку, пользуясь которой можно выделить как причину вариации, так и характер взаимосвязи признака.
Прежде чем перейти к свойствам дисперсии в аналитической группировке рассмотрим относительные показатели вариации, характеризующие совокупность в целом.
Коэффициент вариации
3. Относительные показатели вариации.
Коэффициент осцилляции.
а. Коэффициент осцеляции. Числовая мера определяется как отношения числовых мер размаха и среднего значения признака
б. Коэффициент относительного линейного отклонения. Представляет частное от деления среднего линейного отклонения на среднее значение признака.
в. Коэффициент вариации. Представляет отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению признака.
Дисперсия альтернативного признака
Альтернативный признак – это такой признак, которым одни члены обладают, а другие – нет.
доля единиц, не обладающих признаком
доля единиц, обладающих признаком
Виды дисперсий и правила их сложения
Межгрупповая дисперсия.
Между отдельными видами дисперсий существует взаимосвязь, которую можно записать в виде правила сложения дисперсий: Пример: Распределение сотрудников КБ по производительности труда 1. Расчет общей дисперсии
x |
f |
xf |
x2 |
x2f |
10 |
50 |
50 |
100 |
500 |
11 |
150 |
165 |
121 |
1815 |
13 |
50 |
65 |
169 |
845 |
15 |
50 |
75 |
225 |
1125 |
18 |
70 |
126 |
324 |
2268 |
20 |
30 |
60 |
400 |
1200 |
|
40 |
541 |
|
7753 |
2. Расчет дисперсии по первой группе
x |
f |
xf |
x2 |
x2f |
10 |
50 |
50 |
100 |
500 |
11 |
150 |
165 |
121 |
1815 |
13 |
50 |
65 |
169 |
845 |
|
25 |
280 |
|
3160 |
3. Расчет дисперсии по второй группе
x |
f |
xf |
x2 |
x2f |
15 |
50 |
75 |
225 |
1125 |
18 |
70 |
126 |
324 |
2268 |
20 |
30 |
60 |
400 |
1200 |
|
15 |
261 |
|
4593 |
4. Расчет межгрупповой дисперсии
|
|
|
|
|
11,2 |
25 |
-2,325 |
5,405 |
135,140 |
17,4 |
15 |
3,875 |
15,015 |
225,234 |
|
40 |
|
|
360,375 |
5. Расчет средней из индивидуальных дисперсий.
Эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО). На основании правила сложения дисперсий вычисляется эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО), которое равно квадратному корню из отношения межгрупповой дисперсии к общей:
Такой порядок вычисления обусловлен разложением общей вариации на вариацию, зависящую от фактора, положенного в основу группировки (в нашем примере – повышение и неповышение квалификации), которая численно равна межгрупповой дисперсии, и общую вариацию.
Межгрупповая дисперсия составляет часть общей дисперсии и складывается под влиянием только одного группировочного фактора. Именно поэтому подкоренное выражение показывает долю вариации за счет группировочного признака.
ЭКО изменяется в переделах от нуля до единицы. Чем ближе его значение к единице, тем большая доля вариации падает на группировочный признак.
Некоторые математические свойства дисперсий.
При вычитании из всех значений признака некоторой постоянной величины дисперсия не изменится.
При сокращении всех значений на постоянный множитель дисперсия уменьшится в раз.
Средний квадрат отклонений значений признака от постоянной произвольной величины больше дисперсии признака на квадрат разности между средней арифметической и постоянной величиной.
На основании свойств дисперсии ее можно подсчитать способом отсчета от условного нуля и способом моментов.
Интервал |
|
|
|
|
|
|
|
|
90-100 |
95 |
2 |
190 |
-30 |
-3 |
-6 |
9 |
18 |
100-110 |
105 |
6 |
630 |
-20 |
-2 |
-12 |
4 |
24 |
110-120 |
115 |
8 |
920 |
-10 |
-1 |
-8 |
1 |
8 |
120-130 |
125 |
18 |
2 250 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
130-140 |
135 |
5 |
675 |
10 |
1 |
5 |
1 |
5 |
140-150 |
145 |
4 |
580 |
20 |
2 |
8 |
4 |
16 |
150-160 |
155 |
3 |
465 |
30 |
3 |
9 |
9 |
27 |
160-170 |
165 |
2 |
330 |
40 |
4 |
8 |
16 |
32 |
170-180 |
175 |
2 |
350 |
50 |
5 |
10 |
25 |
50 |
|
|
50 |
6 390 |
|
|
14 |
|
180 |