3.2. Физическое моделирование

3.2.1. Теория подобия

Подобие в широком смысле - это возможность распространения результатов эксперимента с модели на оригинал. В узком смысле подобие - это тождественность описания полей соответствующих величин модели и оригинала в обобщенных переменных или, по-другому, постоянство отношения сходственных величин модели и оригинала.

Геометрическое подобие - постоянство отношения всех сходственных линейных размеров модели и оригинала

,

где и - сходственные линейные размеры модели и объекта (длина, диаметр и т.д.), - константа геометрического подобия.

Сходственные точки - точки, удовлетворяющие условию геометрического подобия.

Временное подобие (гомохронность) - постоянство отношения сходственных интервалов времени модели и оригинала:

.

Если константа временного подобия K_t=1, то такой частный случай гомохромности называют синхронностью, при этом сходственные интервалы времени модели и оригинала совпадают.

Подобие физических величин - постоянство отношения физических величин для модели и оригинала в сходственных точках в сходственные моменты времени:

; ; .

В общем случае K_ K_ K_. Подобие модели и объекта предполагает подобие полей физических величин.

W^m/W⁰=K_w - гидродинамическое подобие (подобие полей скорости);

T^m/T⁰=K_т - тепловое подобие (подобие полей температуры);

C_i^m/C_i⁰=K_с - концентрационное подобие (подобие полей концентра-ций).

Подобие начальных условий - подобие полей всех физических величин в начальный момент времени.

Подобие граничных условий - постоянство отношения соответствующих величин на границах модели и оригинала.

Константы подобия (отношения одноименных величин модели и оригинала) постоянны для различных сходственных точек подобных систем, но изменяются при переходе от одной модели к другой.

Инварианты подобия - безразмерные отношения величин, характеризующих модель или оригинал. Их значения могут изменяться в пространстве и во времени, но в случае подобия одинаковы для модели и оригинала в сходственных точках в сходственные моменты времени и не меняются при переходе от одной подобной модели к другой.

Инварианты подобия еще называют обобщенными, относительными или безразмерными переменными, а также критериями подобия, так как они служат признаком, по которому можно судить о подобии модели и оригинала. Инварианты (критерии) подобия подразделяются по различным признакам в зависимости от вида величин, их составляющих: симплексы и комплексы подобия; определяющие и определяемые критерии; независимые, зависимые и постоянные обобщенные переменные.

Симплексы подобия - инварианты подобия, представляющие собой отношения однородных величин:

.

Комплексы подобия - инварианты подобия, представляющие собой отношения разнородных величин:

.

Определяющие критерии подобия составлены из величин, входящих в условия однозначности.

Определяемые критерии подобия содержат величины, которые требуется определить в ходе решения задачи.

Независимые обобщенные переменные содержат текущие значения пространственных координат и времени.

Зависимые обобщенные переменные содержат величины, меняющиеся в зависимости от независимых.

Постоянные обобщенные переменные - постоянные для группы подобных объектов (определяющие критерии подобия, составленные из постоянных величин, входящих в условия однозначности).

Характерная величина - наиболее удобная и показательная величина для характеристики данного объекта применительно к рассматриваемой задаче.

Наиболее простой алгоритм получения критериев подобия заключается в следующем: дифференциальное уравнение приводится к безразмерному виду делением всех членов на один из них; все приращения заменяются на абсолютные значения величин; полученные комплексы, количество которых на единицу меньше числа первоначальных членов уравнения, являются критериями подобия.

В качестве примера рассмотрим получение критерия Ньютона из одноименного уравнения:

; ; . (3.1)

Рассмотрим без доказательства три теоремы подобия.

1.Подобные объекты характеризуются численно равными критериями подобия (Ньютон, Бертран).

2.Решение дифференциального уравнения (системы уравнений), описывающего объект, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия (Бэкингем, Федерман, Афанасьева-Эренфест).

3.Объекты подобны, если они описываются одной системой дифференциальных уравнений, имеют подобные условия однозначности и их определяющие критерии численно равны (Кирпичев, Гухман).

Они могут быть дополнены -теоремой Бэкингема, являющейся основой метода анализа размерностей: любую зависимость между N величинами, среди которых n обладают независимыми размерностями, можно представить уравнением, связывающим N - n = N_k безразмерных комплексов, составленных из этих величин ( при наличии подобия N_k критериев подобия). При этом, если N_n величин имеют неодинаковую размерность, то N_s = N - N_n критериев подобия могут являться симплексами подобия. Группа величин обладает независимыми размерностями, если размерность каждой из них не может быть представлена в виде степенного комплекса размерностей остальных.

Первая и третья теоремы формулируют необходимые и достаточные условия подобия модели и оригинала, а вторая совместно с - теоремой позволяет выделить минимальное число обобщенных переменных, с помощью которых может быть выражено интегральное решение. Такое решение, представляющее зависимость между критериями подобия, носит название критериального уравнения. Критерий, который в соответствии с поставленной задачей содержит искомую величину, называется определяемым, а остальные - определяющими. Равенство определяющих критериев модели и оригинала приводит к равенству определяемых критериев. Обычно критериальные уравнения представляют степенную зависимость:

, (3.2)

, (3.3)

, (3.4)

где ₁ - определяемый критерий; ₂..... _Nk - определяющие критерии; A, b_i, c_i - экспериментально найденные коэффициенты: S_i - симплексы подобия.

Если какой-либо из определяющих критериев слабо влияет на определяемый (показатель степени близок к нулю), то его можно исключить из уравнения. В этом случае говорят об автомодельности процесса по отношению к данному критерию. Зачастую не удается соблюсти равенство всех критериев модели и объекта, в этом случае добиваются совпадения критериев, наиболее значительно влияющих на процесс, осуществляя приближенное моделирование.