3.5. Моделирование гидродинамической структуры потоков в аппаратах

3.5.1. Структура потоков и ее характеристики

Под структурой потока понимают характер движения элементов потока в аппарате. Траектории движения этих элементов могут быть чрезвычайно сложными, что приводит к различному времени их пребывания в аппарате.

В качестве характеристики структуры потока обычно используют время пребывания элементов потока в аппарате. Поскольку различные элементы потока в общем случае имеют различные скорости и траектории движения, то и обладают разными временами пребывания в аппарате.

Величина f(t) называется функцией распределения времени пребывания элементов потока в аппарате. Произведение f(t)dt есть вероятность того, что элементарный объем будет иметь время пребывания в аппарате от t до t+dt, или это есть доля элементов потока, время пребывания которых в аппарате составляет от t до t+dt:

, (3.6)

где dN(t) - количество элементов потока, время пребывания которых в аппарате составляет от t до t + dt; N - общее число выделенных элементарных объемов в аппарате. Из определения (3.6) следует условие нормировки

, (3.7)

так как вероятность того, что время пребывания элемента потока в аппарате лежит в диапазоне от 0 до , безусловно, равна 1 (100%). Зная функцию распределения f(t), можно найти среднее и наиболее вероятное t_в время пребывания элементов потока в аппарате, t_в соответствует максимальному значению f(t), а

. (3.8)

С другой стороны, может быть найдено как

, (3.9)

где V_а - объем аппарата, а - объемный расход (объем среды, проходящий за единицу времени).

Рис. 3.1. Типичный вид функции распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате: t_в - наиболее вероятное, - среднее время пребывания

На практике удобнее использовать безразмерное время пребывания  и безразмерную функцию распределения f*( ):

, . (3.10)

Произведение f*()d является вероятностью того, что элемент потока будет иметь время пребывания в аппарате от  до +d.

3.5.2. Математическое моделирование структуры потоков

На рис. 3.2 показаны экспериментально найденные профили скорости W_х в некоторых сечениях. Поскольку движение считается осесимметричным, в верхней половине аппарата распределение скорости будет иметь аналогичный вид. Поле скорости даже такого простого аппарата имеет существенную неоднородность.

Рис. 3.2. Поле скорости W_x и характерные зоны в горизонтальном цилиндрическом проточном аппарате: 1, 7 - застойные зоны; 2, 6 - зоны смешения; 3 - пограничный слой; 4, 5, 8 - ядро потока

Модель идеального вытеснения. Согласно модели идеального вытеснения (МИВ), все элементы потока движутся по параллельным траекториям с одинаковыми скоростями (рис. 3.3). Время пребывания в аппарате для всех элементов такого потока одинаково.

Рис. 3.3. Поле скорости W_x для модели идеального вытеснения

Зная изменение концентрации меченых атомов во времени, можно определить функцию распределения времени пребывания элементов потока в аппарате.

(3.11)

или для одномерного случая

, (3.12)

где c=c(x,t) - концентрация меченых элементов потока в сечении аппарата с координатой x в момент времени t. Для нахождения решения необходимо дополнить уравнение (3.12) начальными и граничными условиями.

, . (3.14)

Концентрация меченых элементов потока, выходящих из аппарата в момент времени t, пропорциональна количеству элементов, пребывающих в аппарате это время.

, (3.15)

. (3.16)

Вид этой функции изображен на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Вид функций распределения для различных моделей при определенных значениях параметров: m - числа ячеек (ячеечная модель) и Ре_L - критерия Пекле для продольного перемешивания (диффузионная модель)

Наиболее близка к МИВ структура турбулентного потока, движущегося по трубе при L/d>>1.

Модель идеального смешения. Предполагается, что любая порция входящего в аппарат потока мгновенно равномерно перемешивается во всем объеме. Координаты и скорость отдельного элемента потока в каждый момент времени, а также время его пребывания в аппарате имеют чисто случайное значение. Концентрация меченых элементов потока одинакова во всех точках аппарата.

, (3.17)

где G_Nвх, G_Nвых - количество меченых элементов потока, входящих в аппарат и выходящих из него за единицу времени. Как и при рассмотрении МИВ, пометим элементы потока лишь в начальный момент времени. При любых t>0 входа меченых элементов в аппарат не будет (G_Nвх=0,t>0). G_Nвых можно определить через объемный расход выходящего потока и концентрацию в нем меченых элементов (она будет соответствовать их концентрации в самом аппарате). Так как концентрация c(x,t) одинакова во всех точках аппарата, ее можно считать функцией одного аргумента c(x,t)=c(L,t)=c(t), обозначив для краткости c:

. (3.18)

Воспользовавшись соотношением (3.15) можно определить функцию распределения (см.рис.3.4):

, (3.22)

. (3.23)

Наиболее близка к МИС структура маловязкого потока, движущегося с небольшой расходной скоростью через аппарат с интенсивно работающей мешалкой.

Ячеечная модель. В соответствии с МЯ предполагается последовательное прохождение потоком ряда ячеек идеального смешения. Параметром модели служит число таких ячеек m. Учитывая, что объем каждой ячейки равен отношению объема всего аппарата к числу ячеек, а концентрация меченых элементов потока на входе в ячейку соответствует их концентрации на выходе из предыдущей, можно получить для i-й ячейки:

. (3.24)

Решение системы m дифференциальных уравнений (3.24) дает выражение для концентрации меченых элементов в последней ячейке, т.е. на выходе из аппарата c_m(t), а затем и для функции распределения по (3.15):

. (3.25)

При m=1 МЯ переходит в МИС, а при m= - в МИВ. Наиболее приемлемое описание МЯ дает для каскада аппаратов с мешалками и других аппаратов ступенчатого типа.

Диффузионная модель. Считается, что отклонение в движении элементов потока от идеального вытеснения осуществляется за счет их случайных блужданий, которые могут быть описаны по аналогии с молекулярным или турбулентным механизмом переноса. Это позволяет воспользоваться уравнением нестационарной конвективной диффузии для определения концентрации меченых элементов потока c(x,t), полагая конвективную скорость равной для всех элементов, а перемешивание вне зависимости от причин его вызывающих учитывать с помощью коэффициента обратного (продольного) перемешивания D_L. Тогда получим

. (3.26)

Функция распределения для аппарата конечной длины получена в виде суммы бесконечного ряда. Для полубесконечного аппарата найдено решение, которое может быть использовано в качестве приближенного при больших L/d (Pe_L > 10)

, (3.27)

где Pe_L=W_xL/D_L - критерий Пекле для продольного перемешивания (параметр модели). При Pe_L=0 МД переходит в МИС, а при Pe_L= - в МИВ.

Идентификация модели – это определение неизвестных параметров. Таковыми являются критерий Пекле для продольного перемешивания Ре_L в диффузионной модели, и число ячеек m в ячеечной модели. Как правило, для их определения используют экспериментальные данные, полученные методом меченых объемов. Для этого в основной поток на входе в аппарат вводится индикатор (трассер), элементарные объемы которого должны двигаться аналогично элементам основного потока, но иметь отличия в окраске, электропроводности, оптической плотности и т.д., позволяющие измерить их концентрацию в основном потоке. В качестве индикаторов используют красители, растворы солей, радиоактивные изотопы. Фиксируя изменение во времени концентрации индикатора на выходе из аппарата, получают кривую отклика C(t).

Обычно применяют импульсный ввод индикатора, т.е. единовременное заполнение небольшим объемом индикатора всего поперечного сечения на входе в аппарат, что соответствует начальным и граничным условиям. В этом случае кривая отклика С(t) = с(L,t) связана соотношением (3.15) с функцией распределения времени пребывания элементов потока в аппарате f(t). Затем, определив среднее время пребывания по (3.8), переходят к безразмерной функции распределения f*() (3.10) и, сопоставляя ее с известными зависимостями для различных моделей структуры потоков, выбирают наиболее приемлемую модель.

Теперь можно перейти непосредственно к нахождению параметров модели, которое, как правило, осуществляется с помощью метода моментов. В случае однопараметрической модели обычно используется второй центральный момент или дисперсия. Дисперсией случайной величины называется средний квадрат ее отклонения от среднего значения.

. (3.28)

Связь дисперсии с искомыми параметрами:

(МЯ) , (3.29)

(МД) . (3.30)

Проверка адекватности модели. Для этого можно сопоставить рассчитанную с использованием найденных параметров функцию распределения f*^p() с экспериментальной f*^Э(). Если точность удовлетворительна, то считают модель адекватной оригиналу, если нет, то выбирают другую, возможно более сложную модель.