Турбулентный перенос. Перенос импульса за счет турбулентного механизма может рассматриваться по аналогии с молекулярным:

, (1.48)

где _т и _т - динамический и кинематический коэффициенты турбулентной вязкости, определяющиеся свойствами среды и режимом движения . Суммарный поток импульса в лабораторной системе отсчета можно записать:

, (1.49)

где - тензор вязких напряжений, элементы которого включают как молекулярный, так и турбулентный перенос импульса:

. (1.50)

Глава 2. Законы сохранения

2.1. Закон сохранения массы

Суть закона сохранения массы заключается в том, что масса не может исчезать либо возникать, т.е. суммарное количество массы в закрытой системе неизменно (закрытая система не обменивается массой с окружающей средой), следовательно, М = 0 или dM/dt = 0.

2.1.1. Интегральная форма закона сохранения массы (материальный баланс)

Изменение массы в некотором фиксированном объеме V вызывается разностью прихода и отвода массы из выделенного объема:

, (2.1)

где - изменение плотности.

Массовый расход G – это количество массы, прошедшее за единицу времени. Отнесем величины, входящие в уравнение (2.1), к бесконечно малому промежутку времени:

. (2.2)

Если плотность вещества не меняется (среда несжимаемая) или процесс протекает в стационарных условиях, то материальный баланс упрощается:

 . (2.3)

Уравнение материального баланса для каждого компонента:

. (2.4)

Уравнение материального баланса для каждого компонента:

, (2.5)

где - масса компонента i, образующаяся в единице объема за единицу времени (источник массы). Просуммировав уравнения (2.5) по всем компонентам, мы должны получить уравнение (2.1) для всей массы в целом. Отсюда вытекает естественное условие на источники массы отдельных компонентов (отрицательные источники массы иногда называют стоками):

. (2.6)

Можно переписать уравнение (2.5) в терминах расходов:

. (2.7)

2.1.2. Локальная форма закона сохранения массы (уравнение неразрывности)

В локальной форме закон сохранения массы рассматривается бесконечно малый объем dV.

Рассмотрим движение среды как целого через элементарный фиксированный объем . При прохождении через данный объем возможно изменение массового потока , обусловленное изменением скорости и плотности среды. Только использование среднемассовой скорости позволяет записать суммарный поток массы всех компонентов в лабораторной системе отсчета при наличии градиентов концентраций в виде произведения .

Рис. 2.1. Изменение массового потока, направленного вдоль оси X и проходящего через элементарный объем dV

Массовый расход среды, входящий в объем dV через грань, перпендикулярную оси X, будет равен

, (2.8)

а выходящий можно представить как

. (2.9)

Изменение расхода вдоль оси X:

. (2.10)

Аналогичным образом можно рассмотреть изменения массового расхода вдоль осей Y и Z:

, (2.11)

. (2.12)

Суммарное изменение расхода в объеме dV равно сумме изменений по всем трем осям:

. (2.13)

Применим к рассматриваемому объему dV уравнение материального баланса (2.2), используя в нем частную производную от плотности по времени с учетом того, что плотность зависит еще и от пространственных координат:

. (2.14)

Решая совместно уравнения (2.13) и (2.14), получим

. (2.15)

Используя дифференциальный оператор , а также выражение для потока массы, эту запись можно представить в виде

. (2.16)

Данное уравнение, выражающее в локальной форме закон сохранения массы, носит название уравнения неразрывности. Левая часть этого уравнения характеризует изменение во времени плотности движущейся среды в фиксированной точке пространства (элементарном объеме dV), неподвижной относительно лабораторной системы отсчета.

Зачастую интерес представляет изменение плотности во времени в точке, движущейся вместе со средой, т.е. со скоростью . Для этого необходимо использовать полную производную по времени:

. (2.17)

Учитывая, что производные от пространственных координат по времени дают соответствующие проекции вектора скорости, можно переписать

(2.18)

Такая полная производная по времени от величин, зависящих также от пространственных координат, носит название субстанцио-нальной производной, обозначается и характеризует изменение величины во времени для наблюдателя, движущегося вместе со средой со скоростью .

Уравнение неразрывности:

. (2.21)

Частные случаи уравнения неразрывности. В случае установившегося (стационарного) движения и из (2.16) следует

. (2.22)

В случае постоянства плотности среды из (2.21) следует

. (2.23)

Уавнение постоянства расхода, применимое для установившегося движения среды, полностью заполняющей поперечное сечение канала площадью S:

, (2.24)

где - средняя по перечному сечению скорость среды.

Закон сохранения массы в локальной форме для каждого компонента:

. (2.25)

Закон сохранения массы применительно к единичному объему можно сформулировать следующим образом:

Уравнение нестационарной конвективной диффузии:

. (2.27)

Используя допущение о постоянстве и учитывая, что при этом по (2.23), получим

. (2.28)

В случае равенства нулю среднемассовой скорости в лабораторной системе отсчета _, и допустив , получим уравнение, называемое вторым законом Фика:

. (2.29)

Если предположить при этом стационарность процесса, то:

. (2.30)