Зоны Шустера и спираль Корню

Рис. 3

В одномерных задачах дифракции, например на прямолинейной щели, целесообразно разбивать волновой фронт на полосатые зоны. В случае, когда волновой фронт плоский (обобщение на случай сферического фронта не встречает никаких затруднений) и плоскость волнового фронта АВ перпендикулярна к плоскости Рис. 3, опустим перпендикуляр OP из точки наблюдения P на волновой фронт. Обозначим через b длину этого перпендикуляра. Проведем цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через точку Р перпендикулярно к плоскости рисунка, а радиусы равны b, b+/2, b+,... Тогда волновой фронт разобьется на прямоугольные полосы, которые называются зонами Шустера. Центральную зону условимся считать за две зоны: одна расположена справа, а другая слева от точки О. Тогда:

(4).

Ширины последовательных зон Шустера будут

(5).

Они монотонно убывают и в пределе, когда r, стремятся к /2, как это ясно из их построения. (Впрочем, высшие зоны не играют роли. Имеют значение только несколько десятков первых зон Шустера.)

Как и в случае зон Френеля, применим графический метод (Рис. 2). Каждую зону Шустера разобьем на узкие полоски и будем изображать колебание в точке Р, вносимое отдельной полос­кой, вектором на векторной диаграмме. Затем перейдем к пределу, устремляя к нулю ширину каждой полоски. В результате получится плавная кривая, называемая спиралью Корню (1841—1902) (рис. 4). Она состоит из двух симметричных ветвей, бесконеч­ное число раз обвивающихся во­круг фокусов F и F’ и неогра­ниченно приближающихся к ним.

Верхняя ветвь представляет действие правой половины волнового фронта, нижняя — левой. Отличие каждой из ветвей от соответствующей спирали на Рис. 2 обусловлено более быстрым убыванием начальных зон Шустера, чем зон Френеля. Колебание, возбуждаемое первой правой зоной Шустера, изображается вектором , второй правой вектором , двумя первыми правыми зонами вместе — вектором и т. д. (все эти векторы на рис. 4 не п роведены). Колебание, возбуждаемое всем волновым фронтом, представляется вектором , соединяющим фокусы спирали Корню. По мере приближения к фокусам ампли­туды колебаний становятся все меньше и меньше и в пределе обра­щаются в нуль.

Положение точки на спирали Корню определяется значением параметра (значения указаны на спирали на Рис. 4), где x – расстояние от точки наблю­дения Р до центра картины, b– расстояние от точки наблюдения до экрана.

Дифракция на краю полуплоскости

Рассмотрим в качестве примера дифракционную картину от прямолинейного края экрана (рис. 5). Где бы ни находилась точка наблюдения P, для нее всегда будет открыт правый край волнового фронта. На векторной диаграмме (рис. 4) колебание в точке на­блюдения представится вектором , конечная точка которого всегда находится в верх­нем фокусе F, а начальная M_n лежит где-то на спирали Корню.

Если, сохраняя неизменным положение конеч­ной точки F, перемещать на­чальную точку M_n вдоль спи­рали Корню (положения М₁, М₂, M₃,,…), то таким путем можно получить распределение ампли­туд и интенсивности колебаний света по всему экрану.

С деталями анализа дифракции на краю полуплоскости можно познакомиться по учебникам, список которых приведен в конце сборника. Здесь же приведены результаты этого анализа.

Распределение интенсивности графически представлено на рис. 5. Как видим, нет резкой границы между светом и тенью: в области геометрической тени интенсивность света убывает непрерывно и монотонно, а освещенная область расщепляется в дифракционные полосы.

На рис. 6 а) показана дифракционная картина, наблюдаемая при дифракции света на крае экрана. Таким же путем можно рассчитать дифракционную картину на щели или длинном прямоугольном экране. На рис. 6 б) показана тень проволоки от точечного (или линейного) источника.