Глава 2. Понижение порядка дифференциальных уравнений Уравнения высшего порядка. Общие сведения
Все
дифференциальные уравнения порядка
выше первого называются дифференциальными
уравнениями высших порядков.
Уравнение порядка nкроме
производной
,
может содержать также и младшие
производные, так что общий вид такого
уравнения
|
(2.1) |
Или, если это возможно, в форме, разрешенной относительно старшей производной,
|
(2.2) |
Общим решением дифференциального уравнения (2.2) называется решение, содержащее произвольные постоянные, которые можно подобрать таким образом, чтобы удовлетворить любым начальным условиям, то есть выражение вида
|
(2.3) |
Как и для уравнений первого порядка, общее решение будет зависеть от произвольных постоянных. Поэтому для нахождения частного решения необходимо задать начальные условия:
|
(2.4) |
,
,…,
Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных С1,С2,…,Сn, называется частным решением дифференциального уравнения (2.1).Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (2.2), удовлетворяющего начальным условиям (2.4), называют задачей Коши.
Для задачи Коши (2.2), (2.4) имеет место теорема Пикара, которая формулируется и доказывается аналогично теореме Пикара для дифференциального уравнения первого порядка (глава 1). Существование и единственность решения задачи Коши геометрически означает, что через начальную точку (2.4) проходит единственная интегральная кривая.
Выражение
вида
,
которое определяет неявно общее решение
дифференциального уравнения, называется
общим
интегралом
уравнения. Геометрически общее решение
и общий интеграл дифференциального
уравнения представляют собой семейство
интегральных кривых.
Частное решение дифференциального
уравнения это интегральная
кривая,
проходящая через начальную точку (2.4).
Задача интегрирования дифференциальных уравнения высших порядков является значительно более сложной, чем задача интегрирования уравнений первого порядка и далеко не всегда может быть сведена к последней. Тем не менее, кроме линейных уравнений, рассмотрению которых будет посвящена глава 3, для всех остальных типов уравнений высших порядков основным методом интегрирования является понижение порядка.
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три типа уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка.
I.
Уравнение вида
,
где
-
некоторая непрерывная функция.
После n-кратного интегрирования получается общее решение
Проинтегрировав таким образом требуемое число раз, получим общее решение уравнения.
Пример.
Решение.
Решить
уравнение
Интегрируем три раза и получаем общее решение
II. Дифференциальные уравнения n-го порядка, не содержащие неизвестной функции и младших производных до некоторого порядка (k-1) включительно
.
Порядок данного уравнения можно понизить на k единиц введением новой искомой функцииu=y(к)(x).
Тогда
.
Пусть общим решением этого уравнения является функция
.
Возвращаясь к yполучим дифференциальное уравнение
А это есть ничто иное как дифференциальное уравнение k-го порядка первого типа.
Пример.
Решить
уравнение
Решение.
Положим
,
тогда
разделяем переменные
и
интегрируя, получим
Возвращаясь
к y,получимуравнение
первого типа
интегрируем его два раза
III. Уравнения, в которых отсутствует независимая переменная x
Понизить
порядок этого уравнения на единицу
удаётся путём замены
.
Тогда
.
Заметим,
что каждая производная
по
выражается
через производные по
порядка
на единицу меньше.
Пример.
Решение.
Решить
уравнение
Замена
, тогда
Уравнение примет вид
или 
Тогда
1)
,
2)
;
Интегрируя последнее уравнение, имеем
возвращаясь кy , получим
или
разделив переменные, получим
Интегрируруя, получим общее решение
