Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнения (ЛНДУ)

(3.16)

здесь ( ), непрерывные на отрезке функции. Пусть известно общее решение ЛОДУ

Метод вариации постоянных состоит в том, что решение находится в виде общего решения соответствующего ЛОДУ, но считаются зависящими от х

(3.17)

Для того, чтобы найти неизвестные функции необходимо найти и эти функции подставить в уравнение (3.16).

Найдем :

Положим тогда

и вновь и т.д. до (n-1)-й производной включительно, то есть

Но

здесь приравнивать к нулю вторую сумму нельзя, так как nначальных условий уже исчерпано.

Подставим в уравнение (3.16), получим

Вторая сумма равна нулю, так как - решение ЛОДУ.

Следовательно, имеем следующую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)относительно неизвестных

Эта система линейных алгебраических уравнений неоднородна. Определитель этой СЛАУ не равен нулю, так как функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.16), следовательно

Система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение-

Вычисляя квадратуры, получим функции

Подставляя найденные функции в формулу (3.18), получим

где первое слагаемое-общее решение ЛОДУ, второе-частное решение ЛНДУ.

Пример. Решить ЛНДУ

Рассмотрим соответствующее ЛОДУ:

Общее решение ЛОДУ:

_{Частное решение ЛНДУ} запишем в виде

Найдем , :

,

_.

Подставим и в ЛНДУ и получим

.

Имеем СЛАУ относительно неизвестных

.

Тогда и соответственно

.

Общее решение ЛНДУ имеет вид

.ш

Линейные однородные дифференциальные уравненияn-порядка с постоянными коэффициентами

Понятия и определения. Пусть дано линейное однородное дифференцируемое уравнение n-го порядка

(3.18)

здесьa₁, a₂, … , a_n - постоянные коэффициенты.

_{Уравнение (3.18}) можно переписать с использованием ЛДО в виде

Решение уравнения (3.18) будем искать в виде

(3.19)

гдеλ- неизвестная величина, для определения которой следует подставить функцию (3.19) в уравнение (3.18), при этом получаем уравнение вида

или

Таким образом, подстановка в уравнение (3.18) приводит его к виду

В последнем равенстве

(3.20)

принято называть характеристическим уравнением (ХУ) дифференциального уравнения (3.18).

Таким образом, мы показали, что, если функция e^λxявляется решением дифференциальному уравнению (3.18), то λ является корнем характеристического уравнения, и наоборот. 

Следует помнить, что:

1. Число называют простым корнем характеристического уравнения (3), если P(λ) можно записать в виде где

2. Число λ₁ называют корнем кратности k характеристического уравнения (3), если многочлен P(λ) можно записать в виде где

3. Характеристическое уравнение должно иметь n решений.

Случай различных действительных корней характеристического уравнения. Пусть все корни характеристического уравнения (3.20) действительны и различны, то есть

В этом случае имеем nразличных частных решений уравнения (3.18)

Покажем, что эти функции линейно независимы, то есть образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.18). Определитель Вронского этой системы

Так как все корни характеристического уравнения различны, а функция e^λxне обращается в нуль, то

Из этого следует, что линейно независимые, а значит, образуют ФСР ЛОДУ (3.18).

Общее решение может быть записано в виде

_{Пример.} Решить дифференциальное уравнение

_{Решение.}

Характеристическое уравнение имеет вид

Его корни

Частные решения образующие ФСР:

_{Общее решение дифференциального уравнения}

Случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются комплексные корни. Пусть - корень характеристического уравнения (3.20).

Комплексные корни могут появляться только парами, то есть

Следовательно, - решения уравнения (3.18). Применяя известную формулу Эйлера для первой функции, имеем

По четвертому свойству решений ЛОДУ - есть решения уравнения (3.18).

Проведем аналогичные действия для второй функции:

и получим

Функции y₃, y₄ - линейные комбинации функций y₁, y₂, то есть являются линейно зависимыми. Поэтому рассмотрение корня характеристического уравнения никаких новых решений не дает, то есть паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует пара решений уравнения (3.18) вида

Если при этом все остальные корни являются действительными и различными, то ФСР будет иметь вид _.

Общее решение уравнения (3.18) записывается следующим образом:

_{Пример.} Решить дифференциальное уравнение

_{Решение.}

Характеристическое уравнение

Имеет корни

Частные решения уравнения образующие ФСР:

_{Общее решение} .

Случай кратных корней характеристического уравнения. Пусть - корень кратности k1 характеристического уравнения (3.20) , все остальные простые действительные, тогда различных корней характеристического уравнения будет меньше, чем n и частных решений уравнения (3.18), соответствующих различным корням, будет меньше, чем n:

Но для построения общего решения ЛОДУ на основании теоремы об общем решении, мы должны располагать nрешениями.

Где взять остальные (n-p) решений? На основании определения кратности корня

Подставим функцию y= в уравнение (3.18), для простоты записи положим λ₁ = λ, тогда

Продифференцируем последнее равенство sраз поλс использованием формулы Лейбница

то есть

Для левой части равенства

После s-кратного дифференцирования имеем

Вернемся в последнем равенстве к λ₁, тогда:

-решение уравнения (3.18)

-решение уравнения (3.18)

-решение уравнения (3.18)

. . . . . . . . . . . . .

-решение уравнения (3.18)

-не является решением уравнения (3.18)

Таким образом, решениями дифференциального уравнения (3.18) соответствующими корню кратности k₁, являются функции: , .

_{Пример.} Решить дифференциальное уравнение

_{Решение.}

Характеристическое уравнение

имеет корень кратности 3 .

Общее решение