Численные методы решения задачи Коши

Метод Эйлера. Рассмотрим задачу Коши . Найти решение на интервале .

Разбиваем интервал следующим образом:

Если величина шага разбивки равна, то говорят, что выбрана равномерная сетка.

_{Имеем ряд Тейлора:}

Чаще ограничивается членами меньшими второго порядка по , тогда получаем вместо точного приближенное решение.

Алгоритм Эйлера. Вместо движения по точной интегральной кривой, проходящей через точку , движение осуществляется по касательной к этой интегральной кривой в точке . На каждом звене двигаемся дальше вдоль касательной

Таким образом, осуществляя интегрирование дифференциального уравнения по методу Эйлера, мы получаем аппроксимацию точного решения в виде ломаной линии (ломанной Эйлера), каждое звено которой представляет собой кусок касательной, проведённой к интегральной кривой соответственно в точках

Доказывается, что если функция непрерывная и ограниченная вместе со своими первыми производными , то построенные приближённые решения при стремлении к нулю сходится к точному решению равномерно с первым порядком точности .

Метод Рунге-Кутта. По этому методу можно строить алгоритмы вычислительных процедур, обладающих различными порядками точности.

Алгоритм, обладающий первым порядком точности, оказывается методом Эйлера. Наиболее употребительные алгоритмы 2-го порядка точности. Их несколько.

Пусть на отрезке [a,b] требуется найти численное решение задачи Коши dx/dy=f(x,y), где a = x₀. Разобьём этот участок на n равных частей и построим последовательность значений x₀, x₁, …, x_nаргументаx искомой функции y(x) и y_k+1 = y_k + y_k, где y_k- приращение искомой функции y(x) на (k+1)-м шаге интегрирования

y_k = (k _1,k + 2k _2,k + 2k _3,k + k _4,k)/6, где

k_1,k = h(x_k, y_k),

k_2,k = hf(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _1,k),

k_3,k = hf(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _2,k),

k_4,k = hf(x_k + h, y_k + k _3,k).

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений вида

dy/dx = f₁(x,y,z);

dz/dx = f₂(x,y,z).

В этом случае приращения y_k и z_kвычисляются по формулам:

y_k = (k _1,k + 2k _2,k + 2k _3,k + k _4,k)/6

z_k = (m _1,k + 2m _2,k + 2m _3,k + m _4,k)/6, где

k_1,k = hf₁(x_k, y_k,k),

m_1,k = hf₂(x_k, y_k, z_k),

k_2,k = hf₁(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _1,k, z_k + 0,5 m _1,k ),

m_2,k = hf₂(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _1,k, z_k + 0,5 m _1,k ),

k_3,k = hf₁(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _2,k, z_k + 0,5 m _2,k),

m_3,k = hf₂(x_k + 0,5h, y_k + 0,5 k _2,k, z_k + 0,5 m _2,k),

k_4,k = hf₁(x_k + 0,5h, y_k + 0,5k _3,k, z_k + 0,5m _3,k),

m_4,k = hf₂(x_k + 0,5h, y_k + 0,5k _3,k, z_k + 0,5m _3,k),

Приближенное интегрирование системы уравнений осуществляется по формулам вида:

y_k+1 = y_k + y_k,

z_k+1 = z_k + z_k.

Усовершенствованный метод Эйлера. Задана задача Коши (см. раздел метод Эйлера) , тогда

Усовершенствованный метод Эйлера-Коши. Вычисляем функцию в полученной новой точке

.

_{Из этих двух направлений берём среднее арифметическое и эту прямую выбираем в качестве касательной и проводим параллельную прямую через точку}

Наиболее употребительным является алгоритм 4-го порядка точности:

(1.60)

Геометрическая интерпретация. Вначале вычисляется tg угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через точку . Используя этот угол наклона , выполняем движение из точки по данному направлению на величину .

В новой найденной точке, вычисляем новый угла наклона , беря этот угловой коэффициент выполняем движение из точки в данном направлении вновь на полшага.

Выбирая этот выполняем движение опять из точки , но уже на величину полного шага . В результате получим новую точку.

В этой точке ещё вычисляем . Окончательно выбираем угловой коэффициент как осреднённое значение найденных угловых коэффициентов с весами соответственно и в этом направлении выполняем движение из точки на величину , получая окончательное значение .

Если сравнить правые части формулы (1.60) с разложением Тейлора, то можно убедиться, что имеется совпадение с членами этого разложения ниже пятого порядка.

Доказывается, что если непрерывна и ограничена вместе со своими производными до 4-го порядка включительно, то приближённое решение (1.60) равномерно сходится к точному решению с четвёртым порядком точности

( ).