Контрольные вопросы

1. Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка?

2. Записать линейный дифференциальный оператор (ЛДО).

3. Перечислить свойства ЛДО.

4. Перечислить свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (ЛОДУ).

5. Какие функции называются линейно независимыми?

6. Какие функции называются линейно зависимыми?

7. Записать определитель Вронского для системы функций.

8. Чему равен определитель Вронского для линейно зависимых функций?

9. Что такое фундаментальная система решений (ФСР) для ЛОДУ?

10. Сколько независимых частных решений входит в ФСР ЛОДУ?

11. Каким свойством обладает ФСР ЛОДУ?

12. При каких условиях ЛОДУ имеет ФСР на заданном отрезке?

13. Какова структура общего решения ЛОДУ?

14. Какие условия должны выполняться, чтобы функция была общим решение ЛОДУ?

15. Записать линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) в общем виде.

16. Свойства решений ЛНДУ.

17. Какова структура общего решения ЛНДУ?

18. Каким метод можно найти частное решение ЛНДУ, если известно общее решение соответствующего ЛОДУ?

19. Записать в общем виде ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

20. В каком виде отыскивается решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами?

21. Что представляет собой характеристическое уравнение для ЛОДУ с постоянными коэффициентами?

22. Как записывается ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда корни характеристического уравнения простые и действительные?

23. Как записывается ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда корни характеристического уравнения кратные и действительные?

24. Как записывается ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда корни характеристического уравнения простые и комплексные?

25. Как записывается ФСР ЛОДУ с постоянными коэффициентами в случае, когда корни характеристического уравнения кратные и комплексные?

26. Каким методом может быть найдено частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами?

27. Что анализируется в ЛНДУ при использовании метода подбора для нахождения его частного решения?

28. Записать ФСР ЛОДУ и общее решение ЛОДУ, если корни характеристического уравнения:

-1, 1, 2, ±i, ±i, 1

29. Записать ФСР ЛОДУ и общее решение ЛОДУ, если корни характеристического уравнения:

1, 2, 2, 2 ±i, ±i

30. Записать ФСР ЛОДУ и общее решение ЛОДУ, если корни характеристического уравнения:

-1, 2, 2, ±i, ±i, 2 ±i

Глава 4. Системы дифференциальных уравнений Основные понятия и определения

В случае нескольких неизвестных функций одного аргумента составляют совокупность уравнений, образующих систему дифференциальных уравнений.

В общем случае система дифференциальных уравнений имеет вид

(4.1)

здесь - независимая переменная.

Если -максимальный порядок производной неизвестной функции ,

- максимальный порядок производной неизвестной функции ,

. . . . . . . . . .

- максимальный порядок производной неизвестной функции ,

то называют порядком системы (4.1) относительно неизвестных функций

Если уравнения системы (4.1) удается разрешить относительно старших производных неизвестных функций , то система (4.1) преобразуется к виду

(4.2)

Система (4.2) –каноническая система, разрешенная относительно старших производных.

Любую каноническую систему (4.2) можно привести к так называемому нормальному виду Коши, путем введения дополнительных неизвестных функций. В результате получаем систему из дифференциальных уравнений, каждое из которых разрешено относительно первой производной неизвестной функции y_i.

(4.3)

Решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций определенных и непрерывно дифференцируемых на рассматриваемом отрезке изменения x, которые, будучи подставлены в уравнения системы (4.3) обращают их в тождество, используя векторную запись, получим

, , .

И тогда нормальную систему дифференциальных уравнений можно записать следующим образом

.

Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений (4.3) называется задача построения такого решения этой системы, которое удовлетворяет наперед заданным начальным условиям:

(4.4)

здесь - заданные числа, причем задано из интервала (a,b), на котором находят решение.

Геометрически решение задачи Коши интерпретируется как интегральная кривая в n-мерном пространстве, проходящая через фиксированную точку .

Теорема Пикара для системы дифференциальных уравнений. Пусть правые части уравнений системы (4.3), то есть функции определены и непрерывны в некоторой замкнутой ограниченной окрестности начальной точки и в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица, а именно, существует постоянная Липшица такая, что

Тогда существует единственное решение системы (4.3), удовлетворяющее начальным условиям (4.4).

Принцип доказательства тот же, что и в теореме Пикара для дифференциальных уравнения первого порядка.

Точка с координатами называется обыкновенной точкой, если существует единственная интегральная кривая, проходящая через эту точку.

Пусть все точки некоторой области D являются обыкновенными, тогда совокупность функций

или в векторной форме называется общим решением системы (4.3), если выполняются два условия:

1. при любых значениях функции

представляют собой решение системы (4.3),

2. для любой начальной точки с координатами можно подобрать такие значения постоянных при которых данные функции представляют собой частное решение системы (4.3), проходящее через эту точку.