Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной

Уравнения первого порядка n-степени. Левая часть уравнения представляет собой целую рациональную функцию относительно , т.е.

(1.41)

где n - целое положительное число, а - функции от x и y.

Допустим, что мы можем решить это уравнение относительно . При этом, вообще говоря, получается n различных выражений для :

В этом случае интегрирование уравнения (1.41) свелось к интегрированию n уравнений первой степени. Пусть их общие интегралы будут соответственно:

(1.42)

Перемножим левые части интегралов (1.42) и приравняем произведение нулю:

(1.43)

Если разрешим уравнение (1.43) относительно y, то мы получим общее решение уравнения (1.41).

Пример. Решить уравнение

Решение.

Это их общие интегралы. Поэтому общий интеграл исходного уравнения имеет вид

Уравнение, разрешенное относительно y и не содержащее x. Речь идет об уравнении вида

(1.44)

В этом случае целесообразно применить метод введения параметра. Он заключается в том, что рассматриваемые переменные выражаются через параметр и решение ищется в параметрической форме.

Положим . Тогда наше уравнение запишется в виде

(1.45)

Если удастся получить еще одно уравнение, выражающее x через p и С, то совокупность этих двух уравнений будет являться общим решением уравнения (1.44) в параметрической форме. Исключая из них параметр p, можно получить зависимость между x, y и С, т.е. общий интеграл в обычной форме.

Второе уравнение найдем следующим образом. Перепишем равенство в виде ; отсюда . К интегралу применим формулу интегрирования по частям, получим

Следовательно,

(1.46)

Система уравнений (1.45) и (1.46) является общим решением уравнения (5) в параметрической форме. Исключая, если это возможно, параметр из этих уравнений, получим общий интеграл в форме .

Пример. Решить уравнение .

Решение.

.

Продифференцируем по , получим . Или, т.к. и можно сократить на , имеем . Отсюда и

. Общее решение запишется в виде

При этом мы предположим, что . Если же , то это дает решение , которое, как легко видеть, удовлетворяет уравнению лишь при .

Уравнение, разрешенное относительно xи не содержащее y. Уравнение имеет вид

(1.47)

Поступаем аналогично предыдущему. Положим . Тогда уравнение запишется в виде

(1.48)

Равенство перепишем как . Отсюда

или

(1.49)

Система уравнений (1.48), (1.49) является общим решением уравнения (1.47) в параметрической форме. Исключая из них параметр , получим общий интеграл

Пример. Решить уравнение

Решение.

тогда .

Равенство перепишем Так как , то следовательно . Общее решение запишем в виде

Уравнение, не содержащее или , но не обязательно разрешенное относительно или Уравнение имеет вид

или

причем мы предполагаем, что из уравнения удается выразить (в первом) или (во втором), а также через параметр . Общее решение уравнения получается в параметрической форме.

Рассмотрим, например, уравнение . Предположим, что полагая , мы из уравнения нашли или, наоборот, полагая , нашли из уравнения . Тогда, с одной стороны, , а с другой . Сравнивая оба выражения для , получим

, откуда и . Общее решение в параметрической форме запишется в виде:

Пример. Решить уравнение .

Решение.

Положим , тогда . Из равенства находим . Так как , то и . В параметрической форме общее решение запишется так:

Исключим параметр . Для этого из первого уравнения находим и подставляем во второе. Имеем и .

Уравнение Лагранжа. Так называется уравнение, линейное относительно и , то есть имеющее вид

(1.50)

Предположим, что . Случай рассматривается отдельно. Для интегрирования уравнения Лагранжа применим также параметрический метод. Положим . Тогда уравнение запишется в виде

(1.51)

Дифференцируя по , получим

(1.52)

или после замены через , умножения на и алгебраических преобразований,

Это линейное уравнение относительно функции и производной . Его общий интеграл имеет вид

(1.53)

Вместе с уравнением (1.51) он дает общий интеграл уравнения Лагранжа в параметрической форме. Исключая p из равенств (1.51) и (1.53), получим общий интеграл уравнения Лагранжа .

Заметим, что произведенное нами преобразование уравнения (1.52) возможно, если . Если уравнение имеет корни , то они дадут также решения .

Пример. Решить уравнение

Решение.

Положим . Тогда или . Продифференцировав по , имеем

После несложных преобразований получим

откуда

Проведя потенцирование, находим

Следовательно, общее решение в параметрической форме имеет вид

Исключим параметр и найдем общее решение:

Уравнение Клеро. Уравнением Клеро называется частный случай уравнения Лагранжа, когда . Общий вид уравнения Клеро . Положим , тогда . Продифференцировав по , получим, то есть , откуда или . Из уравнения получаем, что . Подставляя вместо в , получим общее решение уравнения Клеро , представляющее собой геометрически семейство прямых.

Решение уравнения Клеро в параметрической форме имеет вид: .

В самом деле, из этих уравнений находим, что

откуда . Подстановка в уравнение Клеро приводит к тождеству . Исключая из двух уравнений системы параметр , получим интеграл уравнения Клеро.