Линейные неоднородные дифференциальные уравненияn -го порядка с постоянными коэффициентами

_{Рассмотрим уравнение вида}

(3.21)

где - const.

Наряду с уравнением рассмотрим соответствующее ему ЛОДУ

Характеристическое уравнение для уравнения (2) имеет вид

В общем случае интегрирование уравнения (3.21) может быть осуществлено методом вариации произвольных постоянных.

В случае ЛНДУ с постоянными коэффициентами помимо этого метода может быть применен метод неопределенных коэффициентов (метод подбора).

Метод подбора.По рассмотренной выше теореме общее решение неоднородного уравнения (3.21) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения.

Отыскание общего решения соответствующего однородного уравнения осуществляется по правилам, изложенным выше. Таким образом, задача интегрирования уравнения (3.21) сводится к отысканию частного решения y_ч.н неоднородного уравнения. Для правых частей специального вида частное решение находится так называемым методом подбора. Общий вид правой части q(х) уравнения (3.21), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

q (х) =е^аx[Р_e (x)cosβx + Q_m(x)sinβx],

где Р_e(х)иQ_k(x)суть многочлены степени eи mсоответственно. В этом случае частное решение y_ч.н.уравнения (1) ищется в виде:

y_ч.н = x^se^αx[ _k(x)cosβx + _k(x)sinβx],

где k=max(m, e),P_k(x) и Q_m(x) – многочлены от xk-ой степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня λ=α+iβ характеристического уравнения(если α±iβ не является корнем характеристического уравнения, то s=0).

Для нахождения частного решения ЛНДУ используется таблица 1. В это таблице по виду правой части ЛНДУ, то есть функции q(x), определяется вид частного решения.

Таблица 1. Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей

№	Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частного решения
1	Pm(x)	Число 0 не является корнем характеристи­ческого уравнения	m(x)
		Число 0 —корень ха­рактеристического уравнения кратности s	xs m(x)
2	Pm(x)eαx	Число α не является корнем характеристи­ческого уравнения	m(x)eαx
		Число α является корнем характеристи­ческого уравнения кратности s	xs m(x) eαx
3	Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx	Числа ±iβне являются корнями характеристического уравнения	k(x)cosβx + k(x)sinβx
		Числа ±iβявляются корнями характери­стического уравнения кратности s	xs( k(x)cosβx + k(x)sinβx)
4	eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx]	Числа a±iβне являются корнями харак­теристического уравнения	eαx[ k(x)cosβx + k(x)sinβx]
		Числа a±iβ являются корнями харак­теристического уравнения	eαx[ k(x)cosβx + k(x)sinβx]xs

Пример 1. Найти общее решение уравнения y^’’’–y’’=12x²+6x.

Решение.

Характеристическое уравнение λ³-λ²=0 имеет корни λ₁⁼ λ₂=0 и λ₃=1, поэтому общее решение соответствующего однородного уравнения будет

y_о.о= С₁+С₂x+С₃e,^x

так как число 0 есть двукратный корень характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде:

у_ч.н=x²(A₁x²+A₂x+A₃)=A₁x⁴+A₂x³+A₃x²,

Подставляя выражение для y_ч.н в данное уравнение будем иметь:

-12A₁x²+(24A₁-6A₂)x+(6A₂-2A₃)=12x²+6x,

откуда

- 12А₁=12,

24A₁-6A₂=6,

6A₂-2A₃=0,

Эта система имеет решение: A₁=-1, A₂=-5, A₃=-15, а значит

y_ч.н=-x⁴-5x³-15x².

общее решение данного уравнения:

Y_о.н= С₁+С₂x+C₃e^x-x⁴-5x³-15x².

Пример 2.

Найти общее решение уравнения y’’+у'=4x²e^x.

Решение.

Характеристическое уравнение λ²+ λ=0 имеет корни λ₁=0 и λ₂=-1. Значит, общее уравнение y_о.о соответствующего однородного уравнения будет:

Y_о.о=С₁+С₂e^-x,

так как а=1 не является корнем характеристического уравнения, частное решение у_ч.н неоднородного уравнения ищем в виде (см. таблицу 1, случай 2 (1))

(у_ч.н= (A₁x²+A₂х+A₃) e^x

Подставляя его в исходное уравнение и сокращая обе части уравнения на e^x, будем иметь

2A₁x²+(6A₁+2A₂)x+2A₁+ЗA₂+2A₃=4x²,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к в левой и правой частях равенства, получаем линейную систему уравнений для нахождения коэффициентов A₁, A₂, A₃:

2A₁=0,

6A₁+2A₂=0

2A₁+ЗA₂+2A₃=О,

решая которую находим A₁=2, A₂= -6, A₃=7, так что

Уч.н=(2x²-6x+7) e^x ,

Общее решение данного уравнения:

y(x)=C₁+С₂е^-x+(2x²–6x+7)

Пример 4. Найти общее решение уравнения у"+10у'+25у=4е^-5x

Решение.

Характеристическое уравнение 10Х+25=0 имеет двукратный корень λ₁=λ₂= -5, поэтому

У_o.o=(C₁+С₂ х) е^-5x

так как а=-5 является корнем характеристического уравнения кратностиs=2, то частное решение у_ч.н неоднородного уравнения ищем в виде (см. таблицу 1, случай II (2))

y_ч.н = Вx^-5x тогда

у'_ч.н = В (2x-5x²)е^-5x

y"_ч.н=B(2-20x+25x²)e^-5x

Подставляя выражения для у_ч.н, у'_ч.н,_.у"_ч.н в исходное уравнение, получаем 2Be^-5x=4e^-5x, откуда В=2 и, значит,y_ч.н=2х²e^-5x.

Общее решение данного уравнения

y(x)=(С₁+С₂x)e^-5x+2x²е^-5x