Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n- порядка
|
(3.10) |
с
непрерывными на [a,b]
коэффициентами
,
.
Теорема. Общим решением ЛОДУ (3.10) с непрерывными на [a,b]коэффициентами является линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами частных решений ЛОДУ, образующих фундаментальную систему решений этого ЛОДУ.
Доказательство.
Пусть { } - есть ФСР ЛОДУ (3.10).
Необходимо доказать, что функция
|
(3.11) |
является общим решением ЛОДУ (1).
В соответствии с определением общего решения функция y(x) является общим решением ЛОДУ (3.10), если:
она является решением ЛОДУ (1),
имеется возможность указать такие числовые значения постоянных
,
при которых эта функция y(x)
будет
удовлетворять заданным начальным
условиям.
Функция (3.11) - есть решение уравнения (3.10) по третьему свойству решений ЛОДУ.
Покажем, что для этой функции выполняется второе условие.
Зададим начальные условия:
|
(3.12) |
Подставим функцию (3.11) в начальные условия (3.12):
|
(3.13) |
.Таким образом, получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определителем которой является определитель Вронского линейно-независимых функций , следовательно
Так как определитель не равен нулю, существуют единственное решение системы (3.13).
Следовательно,
можно утверждать, что
и будут являться этим единственным
решением системы (3.13).
Мы показали, что существует возможность определения таких числовых значений , при которых функция (3.11) удовлетворяет заданным начальным условиям (3.12). Следовательно, функция (3.11) является общим решением дифференциальных уравнений (3.10).
Пример.
Пусть дано
ЛОДУ
.
Тогда
-
его частные решения.
Проверим, будет ли система функций линейно независимой.
Составим определитель Вронского для этих функций
Следовательно
- линейно независимые и образует ФСР
ЛОДУ
.
Общее
решение ЛОДУ
Следствие из теоремы.
Число независимых частных решений ЛОДУ, образующих ФСР, равно порядку этого уравнения.
Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения
|
(3.14) |
Рассмотрим
линейное неоднородное дифференциальное
уравнение (ЛНДУ) n-го
порядка, здесь коэффициенты
(
),
непрерывные
на отрезке
функции.
Дифференциальное уравнение вида
|
(3.15) |
является однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (3.15).
На
основании свойств линейного
дифференциального оператора
доказываются
свойства решений ЛНДУ.
Сумма функций
,
где
-
решение ЛНДУ (3.15) и
-
решение соответствующего ему ЛОДУ
(3.15), есть решение ЛНДУ (3.14).
Доказательство.
таким
образом
-решение
ЛНДУ (1).
Если
являются решениями соответствующих
ЛНДУ вида
,
тогда линейная комбинация
с произвольными постоянными коэффициентами
,
то есть
будет
являться решением ЛНДУ вида
Свойство
носит название - принцип
суперпозиции решений.
Доказательство.
функция
-решение
ЛНДУ вида
Если комплекснозначная функция
является решением
ЛНДУ
вида
то действительная часть
-
решение ЛНДУ
а мнимая часть
-
решение ЛНДУ
Доказательство аналогичное доказательству первого свойства, при этом надо помнить, что комплексное выражение равно нулю в том случае, когда равны нулю его действительная и мнимая части.
Теорема
о структуре общего решения ЛНДУ.
Общее решение ЛНДУ (3.14) с непрерывными
на отрезке
коэффициентами
и непрерывной правой частью
равно сумме общего решения соответствующего
однородного уравнения (3.15) и какого-нибудь
частного решения неоднородного уравнения
(3.14).
Доказательство.
Пусть
-
некоторое частное решение ЛНДУ (3.14), а
система функций
-
ФСР соответствующего ЛОДУ (3.16). Необходимо
доказать, что
-
общее решение ЛНДУ (3.15).
Доказательство основывается на использовании свойств решений ЛНДУ и определении общего решения (аналогично теореме об общем решении ЛОДУ).
Доказанная
теорема позволяет построить общее
решение ЛНДУ по общему решению
соответствующего ЛОДУ и какому-нибудь
частному решению ЛНДУ. В случае, если
частного решения мы указать не можем,
но общее решение соответствующего ЛОДУ
известно, можно проинтегрировать ЛНДУ
методом вариации постоянных
