2. Плотность тока нейтронов. Закон Фика

Пусть есть среда с заданным распределением нейтронов по пространству (задан (r)) и сечением рассеяния _s (при этом _a=0). Найдем плотность тока через единичную площадку dS, лежащую в плоскости z=0.

Плотность тока через единичную площадку .

Рис. 9.2.1.

Рассмотрим плотность тока сверху вниз:

- число нейтронов, пересекающих в единицу времени единичную площадку перпендикулярную Z (плотность тока нейтронов) в направлении, обратном направлению Z.

Рассчитаем число нейтронов, пересекающих dS после рассеяния в dV. В элементе dV происходит столкновение нейтронов с ядрами. Нейтроны могут двигаться в направлении площадки dS. Надо найти число столкновений, происходящих в элементе dV и ввести предположение о сферической симметрии распределения в лабораторной системе координат.

dΩ – это телесный угол, который опирается на площадку dS;

r – расстояние от элемента объёма до площадки dS.

Вероятность избежать рассеяния на пути r определяется

Число рассеяний за единицу в dV

(r)_S dV.

В предположении сферической симметрии рассеяния в ЛСО вероятность для нейтрона полететь в направлении площадки

,

где d - телесный угол с вершиной на dV, опирающийся на dS.

На самом деле сферическая симметричность справедлива в системе центра инерции. В ЛСО она близка к распределению для тяжелых ядер, т.е.

Итак, после рассеяния в пространстве через dS пройдет поток нейтронов

,

т.к. . Интегрируем по всему верхнему полупространству.

Разложим Ф(r) в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами

Это разложение справедливо, когда Ф слабо зависит от r.

Подставим это разложение в выражение для J_z.

Итак,

Интегрирование по углам даёт нулевой вклад. Очевидно, что можно рассматривать поток нейронов и в положительном направлении оси z, интегрируя по нижнему полупространству

Тогда результирующий поток

Последняя формула отражает тот факт, что неравномерность распределения нейтронов по пространству приводит к различию в числе столкновений их с ядрами по разным сторонам dS, что и приводит к диффузии.

Замечания:

1. При выведении выражения для J_z мы пользовались стационарностью потока. Если учесть нестационарность, то необходимо учесть запаздывание нейтрона на время прохождения пути r со скоростью v

Тогда

2. Разложение Ф(r) в ряд справедливо, если неоднородность Ф(r) мала по сравнению со средней длиной свободного пробега нейтрона, т.е. Ф(r) должен быть представим в виде линейной функции координат.

Если расположить dS в других плоскостях, то сложно найти

Тогда в общем виде закон Фика:

где - коэффициент диффузии, D = см.

Коэффициент D в нейтронной физике отличается от коэффициента диффузии, принятого в молекулярной физике по размерности:

в мол. физике J=-Dn, D=1/3v, n – плотность;

в нейтр. физике J=-DФ=-Dvn, D=1/3_S.

Замечания: закон Фика выведен в предположениях:

• нейтроны моноэнергетичны,

• рассеяние нейтронов сферически симметрично в ЛСО,

• поток Ф(r) можно аппроксимировать линейной зависимостью в области размерами в несколько длин свободного пробега нейтронов.

Наиболее жесткими являются предположения о сферической симметрии рассеяния. В действительности рассеяния в ЛСО несимметрично и характеризуются средним косинусом рассеяния =02/3А. С учетом  коэффициент D может сильно измениться

,

где - полное сечение взаимодействия,

-транспортное сечение рассеяния. Т. о., при выведении закона Фика мы считали =0, .