2. Уравнение диффузии с учетом замедления

Обозначим

Ф(r, u) - сумма путей, проходимых нейтронами с летаргией в единичном интервале вблизи летаргии u и в единице объема вблизи r за единицу времени;

q(r, u) - плотность замедления, т.e. число нейтронов, пересекающих значение летаргии u в единицу времени единице объема вблизи r ;

Из всех нейтронов в dV выбираем только те нейтроны, которые имеют летаргию в интервале от u до u+du. Считаем, что _а и источники нейтронов в интервале du отсутствуют.

Элемент объема

Рис.13.2.1.

Рассмотрим q(r, u) в dV. В общем случае (в случае утечки)

Изменение числа нейтронов в единице объема при замедлении от u до u+du равно числу утекших нейтронов:

Разделив это уравнение на du, получим

Рис.13.2.2.

При непрерывном замещении за время dt значение летаргии u пересекут qdt нейтронов. Все они окажутся в интервале от u до du. Тогда имеем

С другой стороны, нейтроны должны оказаться в интервале летаргии du, таком что du соответствует dt.

Отсюда

это давление для замедляющих нейтронов, т.е. уравнение диффузии или теплопроводности. Э. Ферми считал, что это уравнение должно полностью совпадать с уравнением теплопроводности, где коэффициент перед не зависит от u.

Вводят возраст d, причем

тогда в новых переменных

Последнее уравнение представляет собой уравнение теплопроводности в чистом виде и называется уравнением возраста (τ - возраст).

Из определения d имеем

Если перейти от переменной u к переменной времени, тогда

где t - время, отсчитываемое с момента рождения нейтрона.

3. Предположения и ограничения теории возраста

Возраст связан с летаргией. Получили распределение нейтронов данного возраста, а значит данной энергии по пространству, т.е. спектр нейтронов в каждой данной точке. При выводе уравнения диффузии мы предполагали:

1. решение справедливо вдали источников и границ, т.к. использовали уравнение диффузии;

2. среда изотропная и гомогенная;

3. для замедления необходимо, чтобы А>1;

4. неупругое рассеяние и поглощение отсутствуют.

Эти предложения не выполняются для быстрых реакторов, поэтому там теория возраста не применяется. После решения уравнения возраста получим

.

4. Точечный источник быстрых нейтронов в бесконечной среде

Пусть в бесконечной среде заданы =0, а все нейтроны имеют энергию Е=2МэВ. Найдем плотность замедления нейтронов . для сферически симметричной задачи, т.е. .

Решение уравнения возраста аналогично решению уравнения теплопроводности в теплофизике

при а=1, где решается задача о распределении температуры от точечного мгновенного источника тепла . В решении возрастного уравнения мы имеем точечный и монохроматический источник в виде функции , где  - возраст для Е=2МэВ. Значит, постановка задачи такая же, как в теплофизике. Тогда решение

где ()-функция Хевисайда

τ>0; а=1; n=3 - регулярность задачи,

квадрат расстояния до источника.

Плотность замедления

Кривые Гаусса

Рис. 13.4.1.

Чем больше возраст , тем более пологая кривая ему соответствует. При =0 имеем -функцию.

5. Физический смысл возраста

Возраст был введен как удобная переменная

, []=см²,

связанная с характером среды.

Найдем средний rdflhfn расстояния от точки рождения до точки, где он пересекает значение возраста . Для этого рассмотрим источник быстрых нейтронов S в среде

Рис. 13.5.1.

- число нейтронов, значение  в единицу времени в шаровом слое dr вблизи r. Эта величина служит мерой вероятности пересечения возраста . Тогда средний квадрат расстояния

Возраст (u) равен одной шестой среднего квадрата расстояния по прямой, на которое смещается нейтрон от точки рождения до точки, в которой он пересекает значение летаргии u.

Очевидно, что - величина, легко измеримая. Ее так же называют квадратом длины замедления, т.е.

Необходимая размерность и :  является лишь первым грубым приближением . Для различных веществ при замедлении до тепловых энергий (U_t).

Из выражения для q(r,u) видно, что на расстоянии q изменяется в e раз для быстрых нейтронов, причем нейтроны после этого становятся тепловыми.

Вещество
Н2О	28
D2О	110
Ве	100
С	350