6. Время диффузии и время замедления

Необходимо знать, как соотносятся время замедления нейтрона до тепловой энергии и время диффузии нейтрона как теплового. Согласно модели упругого рассеивания.

т.к. .

- не очень сильно зависит от энергии. Время, в течение которого нейтрон диффундирует в среде - , λ_а – длина свободного пробега по отношению к замедлителю.

Таблица 13.6.1.

Нейтронные свойства веществ

вещество	Время замедления, сек	l0, сек
H2O	10-5	2×10-4
D2O	4,6×10-5	0,15
Be	6,7×10-5	4,3×10-3
C	1,5×10-4	1,2×10-2

13. Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах

Рассмотрим распространение нейтронов в пространстве и во времени и учтем влияние источников на работу реактора. Пусть в реакторе имеется внешний источник. Для реакторов на тепловых нейтронах имеют место следующие процессы:

• нейтроны поглощаются в U²³⁵;

• происходят реакции деления и рождаются быстрые нейтроны с Е~2 МэВ;

• быстрые нейтроны вступают в процесс замедления и при замедлении до пороговой энергии деления в U²³⁸ возможно некоторое дополнительное размножение нейтронов;

• после замедления до энергии резонансного захвата на U²³⁸ нейтроны замедляются практически без поглощения.

• Нейтроны, не поглотившиеся в резонансах, замедляются до тепловой энергии и могут снова вызвать деление U²³⁵.

В реакторе с внешним источником нейтроны будут распределены стационарно, если только реактор подкритический. Распределение нейтронов будет описываться системой 2-х уравнений: уравнением диффузии для тепловых нейтронов и уравнением возраста для замедляющихся нейтронов. Возьмем общую постановку задачи. Пусть поток нейтронов может зависеть от времени (стационарная и нестационарная задачи).

где p - вероятность избежать резонансного захвата; t_Т - тепловой возраст.

Второе уравнение стационарное, а первое – может быть нестационарным, тогда решение будет очень сложным. (на несколько порядков) для тепловых нейтронов. Можно считать, что замедление нейтронов происходит мгновенно, тогда зависимость q(t) будет обусловлена только тепловыми нейтронами. Второе уравнение описывает распределение нейтронов по пространству от точки рождения в зависимости от замедления. Необходимо дать граничные условия для системы и уравнения связи между плотностью замедления и потоком тепловых нейтронов. Плотность через нулевой возраст тесно связана с потоком тепловых нейтронов, и он, для простоты будем считать, даст нейтрон с энергией 2МэВ. Энергия нейтронов деления и нейтронов источника одинакова. Чтобы найти число нейтронов деления, нужно проследить за процессами поглощения и деления. Произведение fηε – количество нейтронов, рождающихся на одно поглощение нейтронов в среде.

Добавим условие:

где первое слагаемое в правой части определяет число быстрых нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема, а второе - внешние источники. Но , значит, нейтроны поглощаются в U²³⁵;

Граничные условия:

1. Ф и q ограничены и неотрицательны в области определения;

2. Ф и q обращаются в 0 на экстраполированной границе, т.е. на расстоянии d=0,71l_tr от физической границы. Здесь t_tr является функцией энергии, поэтому положение экстраполированной границы не определено. Мы будем этим пренебрегать.

Итак, будем решать систему. Рассмотрим сначала уравнение возраста (его частное решение). Будем искать решение в виде:

q(r,t, t)=R(r)Q(t)T(t)

тогда

т.к. слева - функция только от r, справа только от t. В – действительное число.

DR+В²R=0 - волновое уравнение

отсюда

Для решения волнового уравнения рассмотрим реактор в виде плоской бесконечной пластины.

Плоская бесконечная пластина

Рис.14.1.

- волновое уравнение.

Нетривиальное решение волнового уравнения существует лишь при определенных В_n:

X(x)=A_ncosВ_nx

На границе имеем или , где n=1,3,5...

Значение параметра В, при которых существует нетривиальное решение, называются собственными значениями, а соответствующие им решения - собственными функциями. Частное решение уравнения возраста, следовательно, имеет вид:

q_n=A_n cosВ_nxT_n(t)

Общее же решение:

q= cosВ_nxT_n(t)

Т.о. решение q представлено в виде ряда Фурье по cos. Аналогично представим и другие величины в уравнении диффузии через ряды Фурье:

S(r)=S(x)=Sd(x)= cosВ_nx, где

Рассмотрим связь между потоком нейтронов и q(r,0,t), тогда

Ф(x, t)= (q(x,0, t) - S(x))=

Здесь неизвестна функция T_n(t). Найдем ее из уравнения диффузии, подставив в последнее эти выражения:

или

Каждое слагаемое этой суммы независимо, т.к. функции независимы, поэтому каждый коэффициент этого ряда должен быть равен 0, т.е.

Или иначе

где - среднее время жизни тепловых нейтронов, - квадрат длины диффузии.

Введем

Тогда уравнение для T_n(t) примет вид:

Решение этого уравнения:

Подставим T_n(t) в выражение для потока, получим:

В отсутствие внешнего источника S_n=0, тогда:

а – толщина пластины.

Для выяснения поведения этого решения рассмотрим величины K_n:

при n­, В_n­, а K_n¯ (n-целое нечетное), т.е. K₁>K₃>K₅

Очевидно, K_n зависит от геометрических размеров: при достаточно малых размерах K_n мало и наоборот. Если все K_n<1, то все члены суммы Ф будут убывать с течением времени, и Ф®0. Увеличивая размеры реактора можно добиться K_n»1. В этом случае первый член ряда Ф не будет зависеть от t, а остальные члены с течением времени будут затухать, т.к. для них K_n<1. Т.о. через определенное время будем иметь стационарный поток в реакторе без внешнего источника

Условие стационарности, т.е. и условие критичности реактора, когда K₁=1, имеет вид

Поток распределения по cos

Рис. 14.2.

Важно учесть внешний источник, т.е. S_n¹0. Пусть все K_n<1, тогда первый и последующие члены суммы угасают во времени, и

Если K_1®1, то первый член при этом будет неограниченно расти, т. е. становится определяющим и остальными членами можно пренебречь. Первый член будет равен

Характерное поведение потока Ф(x)~ используется при запуске ядерного реактора.

Для определения критической загрузки реактора нужно определить плотность замедления как функцию времени и координат. Связь между плотностью замедления и потоком:

Для критического реактора T₁=1, T_n®0 , тогда

Т.е. q~ Ф(x) в стационарном случае.

Ранее имели уравнение диффузии в виде:

Подставим в это уравнение q~ Ф, получим:

DФ+В²Ф=0

Т.о. для реактора в виде пластины (и для реактора любой формы) в стационарном случае с учетом замедления уравнение диффузии сводится к волновому уравнению.