14. Закон электромагнитной индукции Фарадея

14.1. В бетатроне (разновидность ускорителя заряженных частиц) используется изменяющееся во времени магнитное поле: с одной стороны, оно создает силу Лоренца, искривляющую траектории движения частиц, с другой — порождает вихревое электрическое поле, ускоряющее эти частицы. Показать, что в случае пространственно неоднородного, симметричного относительно оси магнитного поля, удовлетворяющего бетатронному условию (величина поля в каждой точке равна половине его среднего значения по площади, ограниченной проходящей через эту точку окружностью с центром на оси симметрии), при любом законе изменения этого поля во времени заряды будут двигаться по окружностям постоянного радиуса.

14.2. Показать, что при медленном изменении пространственно однородного магнитного поля траектория движущегося в нем свободного заряда будет меняться таким образом, что обусловленный его вращением магнитный момент в первом приближении останется постоянным во времени.

Указание. Учесть, что при изменении магнитного поля возникает дополнительная электрическая сила, изменяющая скорость частицы.

14.3. В рамках планетарной модели атома Резерфорда, используемой при анализе механизма возникновения диамагнетизма, при выводе соотношения (14.9) по умолчанию предполагалось, что после включения магнитного поля радиус орбиты электрона остается неизменным. Попытайтесь обосновать сделанное допущение в рамках классической модели атома.

Указание. При наличии магнитного поля на электрон помимо электростатической силы притяжения к ядру действует сила Лоренца, математическое выражение которой весьма сходно с выражением для кориолисовой силы инерции.

14.4. Доказать теорему Лармора..

Указание. Воспользоваться формальным сходством между выражениями для силы Лоренца и кориолисовой силой инерции, возникающей во вращающейся системе отсчета.

14.5. Токопроводящий стержень массой M помещен на два параллельных рельса, наклоненных под углом  к горизонту, расстояние между которыми равно l. Трение отсутствует. Постоянное магнитное поле В направлено вертикально вверх. Как будет изменяться во времени скорость движения стержня, если между рельсами включить: а) сопротивление; б) конденсатор; в) катушку (индуктивность) с заданными электрическими параметрами (R, C или L)?

14.6. Рассчитать индуктивность и коэффициент взаимной индукции двух катушек, плотно намотанных на цилиндрический сердечник заданных размеров, выполненный из материала с магнитной проницаемостью μ. Число витков катушек равно N₁ и N₂ соответственно.

14.7. Рассчитать индуктивность катушки, содержащей N витков токоведущей проволоки, намотанных на кольцеобразный (внешний радиус равен R) сердечник из магнетика с проницаемостью , сечение которого представляет собой прямоугольник со сторонами a и b.

14.8. Электрическая цепь состоит из батареи с ЭДС  и внутренним сопротивлением r, катушки с индуктивностью L и ключа. В начальный момент ключ замкнут. Рассчитать зависимость напряжения на ключе после его быстрого размыкания.

Указание. Сопротивление разомкнутого ключа (точнее, сопротивление воздуха между его контактами) очень велико, но не бесконечно: R >> r.

14.9. На сердечник цилиндрической формы очень плотно друг к другу намотаны две катушки, содержащие одинаковое число витков. Одна из катушек замкнута на сопротивление R, другая в начальный момент времени подсоединяется к батарее с заданной ЭДС и очень малым внутренним сопротивлением. Определить токи как функции времени в каждой из катушек. Сопротивления проводов очень малы.

14.10. Содержащий N витков соленоид длиной l и радиусом r продет через проволочное кольцо радиусом R > r. Найти ЭДС в соленоиде, если в кольце создан электрический ток, возрастающий во времени по линейному закону: I = t.

14.11. Куб с ребром a, спаянный из 12 проволочек сопротивлением R каждая, равномерно вращается вокруг диагонали, проходящей через противоположные вершины. Постоянное магнитное поле B направлено перпендикулярно оси вращения. Найти среднюю тепловую мощность, выделяющуюся в кубе. Вторичными магнитными полями токов, протекающих по кубу, пренебречь. Угловая скорость вращения куба известна.

14.12. Попытайтесь дать строгое обоснование соотношения (14.21) для объемной плотности энергии магнитостатического поля, использовав (также предварительно обоснованное Вами!) соотношение (14.23) для энергии статического распределения системы магнитных диполей.

14.13. Попытайтесь дать строгое обоснование соотношения (14.22) для объемной плотности энергии магнитного поля в изотропном магнетике. Если эта задача покажется Вам слишком простой, рассмотрите случай анизотропного вещества.