2. Механизмы поляризации диэлектриков

4.1. Определить зависимость от расстояния силы электростатического взаимодействия между:

а) ионом и полярной молекулой;

б) ионом и неполярной молекулой;

в) диполем и неполярной молекулой.

Суммарный заряд иона, дипольный момент полярной молекулы и поляризуемость неполярной молекулы считать известными.

Указание. Во всех случаях принять, что расстояние между взаимодействующими объектами существенно превышает их собственные размеры.

4.2. Рассчитать энергию ионизации атома Томсона. Заряд ядра и радиус электронного облака известны.

Указание. Использовать модель атома, соответствующую рассмотренной в примере и на рис. 4.2,б.

4.3. Рассчитать энергию ионизации атома водорода, используя планетарную модель атома Резерфорда. Считать, что электрон движется по круговой орбите радиусом R.

4.4. Рассчитать линейную поляризуемость атома гелия, распределение электронной плотности в котором описывается формулой (4.8).

Указание. Представить зависимость величины наведенного дипольного момента от напряженности электрического поля в виде ряда по степеням Е и ограничиться в нем линейным слагаемым.

4.5. Используя выражение для среднего дипольного момента полярных молекул газа в электрическом поле (4.11), рассчитать величину константы линейной ориентационной поляризуемости.

Указание. Разложить в ряд Тейлора вблизи точки Е = 0 выражение для среднего дипольного момента.

4.6. Найти все элементы матрицы поляризуемости анизотропной молекулы, электронное облако которой может совершать свободные колебания вдоль координатных осей с частотами ω_0x, ω_0y и ω_0z соответственно.

4.7. Рассчитать средний дипольный момент для газа из «полностью анизотропных» линейных молекул, способных поляризоваться лишь в одном направлении (см. пример в разделе 4.4), если температура газа равна Т. Частота свободных колебаний электронного облака вдоль молекулярной оси равна ω₀.

Указание. При записи функции распределения учесть, что помещенная в электрическое поле молекула помимо электростатической энергии взаимодействия ее дипольного момента с полем в результате поляризации приобретает дополнительную потенциальную энергию деформации. При вычислении интегралов, содержащих функции распределения молекул по углам с направлением поля, безразмерный параметр β удобно считать малым. Это позволяет разложить входящую в функцию распределения экспоненту в ряд.

8. Рассчитать средний дипольный момент для случая помещенного в заданное внешнее электрическое поле газа из полярных молекул с линейной поляризуемостью, определяемой тензором вида

.

8. Найти следующий за дипольным (квадрупольный) член разложения потенциала (4.1).

4. Электростатическое поле при наличии диэлектриков

5.1. Обосновать соотношение (5.4), исходя из закона сохранения электрического заряда, не используя его интегрального аналога (5.5).

5.2. Найти электрическое поле, создаваемое бесконечным цилиндром, однородно поляризованным в направлении, перпендикулярном его оси.

5.3. Длинный прямой кабель представляет собой металлический провод, помещенный на ось металлической трубки-оплетки (длинный цилиндр). Внутренний провод отделен от оплетки слоем диэлектрика, проницаемость которого изменяется в перпендикулярном оси направлении по известному закону   (r). Определить электрическое поле в произвольной точке пространства, если провод несет постоянный линейный заряд , а полный заряд оплетки равен нулю.

Указание. Воспользоваться теоремой о потоке электрической индукции. В качестве гауссовой поверхности выбрать цилиндр, соосный с кабелем.

5.4. Диэлектрическую пластинку, поперечные размеры которой намного больше толщины, поместили в однородное электростатическое поле, расположив перпендикулярно силовым линиям. Определить напряженность поля в произвольной точке пространства и распределение поляризационных зарядов в пластинке, если ее диэлектрическая проницаемость изменяется по толщине в соответствии с заданным законом  = f(h).

5.5. Найти электростатическое поле, создаваемое зарядом, помещенным в однородный изотропный диэлектрик, заполняющий полупространство с плоской границей.

5.6. Два полупространства, заполненных однородными изотропными диэлектриками с проницаемостью ε₁ и ε₂, разделены плоской границей, на расстоянии h от которой помещен точечный заряд q. Найти электрическое поле во всем пространстве и электрическую силу, действующую на заряд.

5.7. Определить силу взаимодействия молекулы, обладающей электрическим дипольным моментом, с полупространством из однородного изотропного диэлектрика с известной . Дипольный момент ориентирован перпендикулярно плоской границе диэлектрика. Расстояние от диполя до границы известно.

5.8. В однородное поле напряженностью E₀ помещен шар из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью  Радиус шара R известен. Определить напряженность электрического поля в произвольной точке пространства.

Указание. Попытайтесь доказать, что шар из однородного и изотропного диэлектрика в однородном поле поляризуется однородно. Использование этого свойства существенно упрощает решение задачи.

9. Решите задачу 5.8 для случая однородного бесконечного цилиндра, ось которого перпендикулярна исходному полю. Изобразите примерную картину линий для векторов E и D.