6.Энергия электростатическтого поля

6.1. Доказать, что матрица емкостных коэффициентов симметрична относительно диагонали (C_ik = C_ki).

Указание. Рассмотреть изменение энергии системы заряженных проводников, обусловленное некоторым увеличением заряда одного из них.

6.2. Рассчитать емкость металлического шара радиусом R, окруженного сферическим слоем диэлектрика с проницаемостью , внутренний и внешний радиусы которого R и 2R соответственно.

6.3. Рассчитать электростатическую энергию, запасенную внутри равномерно заряженного по объему шара радиусом R и энергию, запасенную в пустом пространстве, окружающем этот шар. Заряд шара равен Q.

6.4. Рассчитать энергию, запасенную в объеме однородного шара радиусом R из диэлектрика с проницаемостью ε, внесенного в однородное электрическое поле с напряженностью E₀.

6.5. Рассчитать емкость сферического конденсатора (две концентрические проводящие сферы радиусами R₁ и R₂, промежуток между которыми заполнен однородным изотропным диэлектриком с известной диэлектрической проницаемостью).

6.6. Рассчитать емкость цилиндрического конденсатора (два соосно расположенных цилиндра одинаковой длины h с известными радиусами R₁ и R₂).

6.7. Показать, что для сферического и цилиндрического конденсаторов расчет энергии через электроемкость и объемную плотность энергии приводит к одинаковым результатам.

6.8. Рассчитать емкость плоского конденсатора известных размеров, диэлектрическая проницаемость диэлектрика внутри которого при перемещении от одной пластины к другой изменяется по линейному закону от _до_.

6.9. Показать, что матрица тензора диэлектрической проницаемости вещества симметрична относительно диагонали (ε_ik = ε_ki).

Указание. Рассчитать работу по поляризации диэлектрика в процессе увеличения внешнего электрического поля от нуля до конечного значения напряженности E = E_ie_i + E_ke_k путем поочередного увеличения каждой из его компонент; суммарная работа не должна зависеть от порядка включения указанных составляющих.

6.10. Нижние части пластин плоского конденсатора заданных размеров погружают в жидкий диэлектрик с проницаемостью  и плотностью . На какую высоту поднимется диэлектрик в конденсаторе, если его пластины были присоединены к источнику напряжения U, а перед погружением в диэлектрик: а) были отключены от источника; б) не отключались от источника.

Указание. При решении задачи удобно воспользоваться энергетическими соображениями, носящими достаточно общий характер: замкнутая система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Если возникнут сложности с решением алгебраических уравнений, можно ограничиться записью последних и выполнить численный расчет для конденсатора, погруженного в дистиллированную воду.

МАГНИТОСТАТИКА

7. Постоянный электрический ток

7.1. Исходя из интегральной формы записи закона сохранения заряда (7.3) получите дифференциальную форму того же закона (7.4).

Указание. Применить соотношение (7.3) к физически бесконечно малому объему в форме параллелепипеда.

7.2. Исходя из дифференциальной формы записи закона Джоуля—Ленца (7.10) получите его интегральный аналог (7.11).

7.3. N одинаковых элементов с известной ЭДС и внутренним сопротивлением r соединены в батарею: а) параллельно; б) последовательно. Батарея замкнута на внешнее сопротивление R. В какой из двух схем на внешнем сопротивлении выделится большее количество теплоты?

7.4. N одинаковых элементов с известным внутренним сопротивлением и ЭДС соединены в кольцо. Что покажет идеальный вольтметр, подключенный к n элементам этого кольца?

7.5. Рассчитать электрическое сопротивление одиночного шара, помещенного в слабо проводящую бесконечную среду, проводимость которой известна.

7.6. Рассчитать электрическое сопротивление между небольшим металлическим шариком радиусом r и бесконечной проводящей плоскостью, удаленной от шара на расстояние l, существенно превышающее его радиус. Все пространство между шаром и плоскостью заполнено однородным слабо проводящим диэлектриком с известными электрическими свойствами.

7. Из отрезков провода с сопротивлением r собрана очень большая сеть сопротивлений с квадратной ячейкой. Определить электрическое сопротивление между двумя соседними вершинами сети.

Указание. Воспользоваться свойством симметрии и принципом суперпозиции.

7. Электромотор подключен к источнику постоянного напряжения U. Через работающий электромотор протекает электрический ток I. Если вал электромотора закрепить (не давать ему вращаться), сила тока, протекающего через его обмотку, возрастет до I₀ > I. Какая механическая мощность развивается электромотором при работе?

Указание. При работе электромотора электрический ток протекает по проводнику, представляющему собой рамку, вращающуюся в специально создаваемом магнитном поле. При этом движущиеся по проводнику носители зарядов (электроны) испытывают действие дополнительных (сторонних) магнитных сил, пропорциональных скорости движения проводника в магнитном поле. Именно наличие этих сил объясняет наблюдаемое различие токов, протекающих через обмотку работающего и заторможенного мотора.

7. При включении в электрическую цепь нескольких параллельно соединенных резисторов на них возникает одинаковое падение напряжения. Как это согласуется с хорошо известным из бытовой практики заметным уменьшением накала электрических лампочек, в случае при их параллельного подключения к одной розетке в большом количестве? Ответ подтвердите расчетом.

Указание. Следует помнить, что и источник напряжения для осветительной сети, и провода, соединяющие его с розеткой, обладают малым, но конечным электрическим сопротивлением… Еще одна подсказка состоит в том, что попытки подключения к розетке очень большой нагрузки обычно заканчиваются перегоранием «пробок».

7. Какое количество теплоты выделится на сопротивлении R (электрическая схема приведена на рис.) после того, как во внутренний объем конденсатора емкостью C был помещен диэлектрик с проницаемостью ε.