15. Переменный электрический ток
15.1. Найти зависимости I(t) и Q(t) в реальном колебательном контуре во всех трех режимах, если известно, что в начальный момент времени конденсатор был полностью разряжен, а через катушку протекал ток I0.
15.2. Найти все собственные частоты колебаний в контуре, состоящем из конденсатора и двух катушек, соединенных параллельно. Считать, что активное сопротивление проводов отсутствует. Емкость конденсатора и индуктивности катушек заданы.
Указание. При попытке замены двух параллельно соединенных катушек одной эквивалентной возникает опасность потери целого класса нетривиальных решений.
15.3. Два идеальных колебательных контура имеют одинаковые катушки и конденсаторы с различающимися емкостями. Катушки расположены так, что коэффициент взаимной индукции оказывается существенным. Постройте примерные графики зависимости частот собственных колебаний в системе от коэффициента связи между контурами (отношение коэффициента взаимной индукции к индуктивности катушек).
15.4. Оценить частоту свободных колебаний в системе, представляющей собой проводящую цилиндрическую трубу длиной l и радиусом R, в боковой поверхности которой сделан разрез шириной h<<R. К краям разреза припаяны две параллельные металлические пластины размером l l .
15.5. Рассчитайте амплитудно-частотные характеристики и постройте векторные диаграммы для фильтров, аналогичных рассмотренному в примере, но содержащих вместо конденсатора:
а) катушку с известной индуктивностью и активным сопротивлением;
б) параллельный колебательный контур;
в) последовательный колебательный контур.
Постройте векторные диаграммы.
15.6. Рассчитать амплитудно-частотную характеристику одного звена «бесконечной лестницы» реактивных элементов, рассмотренной в примере.
15.7. Оценить входное сопротивление длинного коаксиального кабеля, представив ответ в единицах системы СИ.
15.8. Найти входное сопротивлении системы, представляющей собой две расположенные параллельно на расстоянии d друг от друга очень длинные металлические полоски шириной l >> d.
16. Система уравнений Максвелла
16.1. Получите общее выражение для всех членов рядов для электрического и магнитного полей в плоском конденсаторе, через который протекает переменный ток (см. пример к разделу 16.1).
16.2. Получите выражение для вектора Пойнтинга, описывающего плотность потока электромагнитной энергии в веществе, характеризуемом константами и .
16.3. Заданный постоянный электрический ток протекает через сопротивление, представляющее собой однородный цилиндр известного размера, удельная проводимость вещества которого известна. Найти вектор Пойнтинга в точках на поверхности цилиндра. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность цилиндра равен тепловой мощности, выделяемой на этом сопротивлении.
16.4. Электрический заряд помещен в центр плоской петли с током. Что представляют собой линии вектора Пойнтинга на плоскости, определяемой этой петлей?
16.5. Источник заданного косинусоидального напряжения подсоединен к нагрузке с помощью очень длинных параллельных цилиндрических проводов, диаметр которых задан. Расстояние между проводами известно. Определить мгновенное и среднее значения вектора Пойнтинга в точках, расположенных посередине между проводами, на большом расстоянии от их концов. Рассмотреть случаи, когда в качестве нагрузки подключены сопротивление, конденсатор, катушка.
Показать, что в двухпроводной линии с произвольным поперечным сечением параллельно расположенных проводов могут распространяться импульсы напряжения произвольной формы. Найти скорость распространения этих импульсов.
Указание. Рассчитать погонные емкость и индуктивность линии исходя из выражений для электрической и магнитной энергии, запасенной в пространстве, окружающем проводники. Учесть что пространственное распределение модулей векторов Е и В одинаково. Обосновать последнее утверждение.
16.7. Проанализировать случай отражения импульса напряжения от короткозамкнутого конца коаксиального кабеля.
16.8. Найти электрическое поле и вектор Пойнтинга стоячей электромагнитной волны в вакууме, магнитное поле которой описывается выражением
.