7. Ток в различных средах

1. В одной из первых работоспособных моделей аксонов было принято, что нервное волокно представляет собой тонкостенную трубку из плохо проводящего материала (мембраны), внутри которой находится хорошо проводящий электролит (смесь анионов хлора и катионов калия). Аксон помещен в физиологический раствор, обладающий высокой удельной проводимостью. Нервный импульс представляет собой создаваемую клеткой разность потенциалов между проводящими средами внутри и вне аксона.

2. Оцените величину входного сопротивления нервного волокна, если его длина столь велика, что ее можно считать бесконечно большой. Все геометрические размеры и проводимости материала считать заданными.

Указание. В первом приближении аксон можно считать имеющим бесконечную длину. Для вычисления его сопротивления мысленно разбить аксон на бесконечно малые секции, каждая из которых эквивалентна звену «бесконечной лестницы сопротивлений».

3. Для определения качества расплава кремния, используемого для создания полупроводниковых матриц, иногда применяется следующий метод. На достаточно толстый плоский слой диэлектрика (его проводимость практически равна нулю) наносится тонкий слой исследуемого вещества, толщина которого известна. Полученная система «прокалывается» двумя проводящими зондами (цилиндрическими проводниками большой длины, ориентированными перпендикулярно поверхностям диэлектриков). Радиусы зондов и расстояние между их осями известны. Определить электрическое сопротивление между зондами, если их собственная проводимость очень велика. Постарайтесь решить задачу точно!

4. Хорошо известно, что Земля является достаточно хорошим проводником. Еще лучшим проводником является ионосфера ― слой практически полностью ионизованного газа, находящегося на высоте примерно 50 км над поверхностью Земли. Весьма удивительный факт состоит в том, что между ионосферой и поверхностью Земли существует гигантская (порядка 5000000 В) разность потенциалов (механизмом, подзаряжающим «небо» являются грозы). Оцените полный ток, протекающий с «неба на Землю» и выделяющуюся при этом тепловую мощность.

9. Электрическое поле равномерно движущегося заряда

9.1. Используя теорему Гаусса для электрического поля, создаваемого движущимися зарядами, показать, что электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости, равномерно движущейся вдоль собственной нормали, совпадает с полем такой же неподвижной плоскости.

Указание. В классической электродинамике традиционно принимается допущение об отсутствии постоянного во времени и однородного во всем пространстве поля.

9.2. Рассчитать силу, действующую на заряд Q, равномерно движущийся с заданной скоростью u в известном электрическом поле E, создаваемом неподвижными относительно наблюдателя зарядами.

Указание. Перейти к системе отсчета, связанной с движущимся зарядом, и, рассчитав действующую силу в этой системе, вернуться к исходной системе.

9.3. Используя релятивистские законы преобразования длин отрезков, сил и электрических полей, рассчитать силу, действующую между двумя электрическими зарядами, движущимися с одинаковой заданной скоростью в направлении соединяющей их прямой.

9.4. Батарея с заданной ЭДС и внутренним сопротивлением с помощью двух очень длинных параллельно расположенных проводников цилиндрической формы подсоединена к сопротивлению. Какова величина этого сопротивления, если известно, что суммарная сила взаимодействия проводников друг с другом равна нулю. Сопротивление проводников очень мало. Их диаметры d значительно меньше расстояния L между их осями.

9.5. Показать, что в случае движения зарядов в одном направлении с одинаковой нерелятивистской скоростью выражение для силы их магнитного взаимодействия, полученное из релятивистского рассмотрения, совпадает с результатом расчета по формулам классической электродинамики (9.6) и (9.7).

9.6. Получить выражение для магнитостатического поля, создаваемого произвольным распределением электрических зарядов, движущихся с одинаковыми скоростями u_i = u, если известно электрическое поле Е, создаваемое точно таким же статическим распределением.

9.7. Пользуясь результатом решения задач 1.4 и 9.6, рассчитать магнитное поле, создаваемое бесконечным прямым проводом с током I на заданном расстоянии h от него.

9.8. Точечный заряд q движется со скоростью u вдоль прямого провода с током I на расстоянии L от него. Найти магнитную силу, действующую на этот заряд. Решить ту же задачу с позиции наблюдателя, движущегося вместе с зарядом.

Указание. При переходе к движущейся вместе с зарядом системе отсчета в соответствии с релятивистским законом преобразования длин отрезков изменяются расстояния между электронами и ионами провода с током. В результате создаваемые ими электрические поля перестают компенсировать друг друга, и рассматриваемый заряд вместо магнитной силы начинает испытывать действие силы электрической.

9.9. Исходя из выражения для магнитного поля равномерно движущегося точечного заряда и принципа суперпозиции получить выражение для сглаженного макроскопического магнитного поля B(R), создаваемого заданным распределением плотности тока в пространстве j(r).

9.10. Используя решение задачи 9.9, получить выражение для магнитного поля, создаваемого в произвольной точке пространства, задаваемой радиус-вектором R, небольшим участком тонкого провода с известным током I, расположенным в точке, определяемой радиус-вектором r (закон Био — Савара — Лапласа).

9.11. Рассчитайте величину (модуль) напряженности электрического поля релятивистской заряженной частицы в точке, расположенной на расстоянии R от нее в направлении, составляющем угол θ с ее скоростью.

9.12. Один из критиков специальной теории относительности приводит аргументы, по его мнению, свидетельствующие об ошибочности этой теории: «В соответствии с результатами расчетов в рамках теории относительности (см. задачу 9.11) при приближении скорости заряда к величине с напряженность его электрического поля в плоскости, перпендикулярной скорости движения, неограниченно возрастает. В результате заряженные частицы, разгоняемые в современных ускорителях до ультрарелятивистских скоростей, своими гигантскими полями должны вырывать электроны из окружающих неподвижных атомов. Поскольку в реальности разрушений ускорителя при его работе не происходит, приведенное рассуждение свидетельствует об ошибочности теории относительности». Какие аргументы Вы можете привести в качестве опровержения подобной точки зрения?