8.1.2. Наслідки автокореляції залишків

Якщо знехтувати автокореляцією залишків і оцінити параметри моделі 1МНК, то дійдемо таких трьох наслідків.

1. Оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок можуть бути невиправдано великими.

2. Оскільки вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами, то статистичні критерії t- і F-cтатистики, які знайдено для лінійної моделі, практично не можуть бути використані в дисперсійному аналізі.

3. Неефективність оцінок параметрів економетричної моделі призводить, як правило, до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з дуже великою вибірковою дисперсією.

За відсутності автокореляції залишків матриця коваріацій для вектора оцінок така:

(8.8)

Припустимо, що незалежні змінні і залишки можна подати у вигляді стаціонарних марковських процесів першого порядку, тобто:

(8.9)

Якщо коефіцієнти  і  додатні, то говорять про додатну автокореляцію. Від’ємна автокореляція в економетричних моделях спостерігається дуже рідко.

Помилки і взаємно незалежні і їх автокореляційні матриці діаго­нальні. Тоді можна показати, що звичайний метод найменших квадратів дає нам при достатньо великому n таку оцінку дисперсії параметрів :

. (8.10)

Із (8.10) бачимо, що зміщення дисперсії параметрів тим більше, чим більші значення  і  (більша автокореляція). Нехай  =  = 0,5, тоді величина зміщення . Цей множник і буде загубленим при використанні 1МНК, що призводить до заниження дисперсії порівняно з її справжнім значенням приблизно на 40%. При збільшенні  і , наприклад,  =  = 0,8, зміщення буде , тобто істинне значення дисперсії у чотири з половиною рази перевищуватиме те, яке дістали при застосуванні 1МНК.

Якщо додатна автокореляція спостерігається і в залишках, і в незалежній змінній, то 1МНК дає зміщення і для залишкової дисперсії. Припустивши, як і раніше, що і підлягають однаковій схемі авторегресії, знайдемо:

(8.11)

Якщо  =  = 0,5 і n = 20, то , тобто недооцінка дисперсії залишків становить близько 4 %, а при  =  = 0,8; n = 20 ця недооцінка дорівнюватиме приблизно 20 %.

Отже, при застосуванні 1МНК вибіркові дисперсії будуть заниженими. Навіть після коригування оцінок вибіркових дисперсій на величину зміщен­ня не можна бути впевненим у коректності рівнів значущості для t- і F-cтатис­тик, оскільки наявність автокореляції залишків означає, що величина може не розподілятися за законом ² і не буде незалежною від .

8.2. Перевірка наявності автокореляції

8.2.1. Критерій Дарбіна — Уотсона

Для перевірки наявності автокореляції залишків найчастіше застосовується критерій Дарбіна — Уотсона (DW):

(8.12)

Він може набувати значеннь з проміжку [0, 4]: .

Якщо залишки є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення DW містяться поблизу 2. При до­датній автокореляції DW < 2, при від’ємній — DW > 2. Фактичні значення критерію порівнюються з критичними (табличними) при різному числі спостережень n і числі незалежних змінних m для вибраного рівня значущості . Табличні значення мають нижню межу DW₁ і верхню — DW₂.

Коли DWфакт < DW₁, то залишки мають автокореляцію. Якщо Dwфакт > DW₂, то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Коли DW₁ <DW< DW₂, то конкретних висновків зробити не можна: необхідно далі провадити дослідження, беручи більшу сукупність спостережень. Зауважимо, що цей критерій призначений для малих вибіркових сукупностей.

Вибірковий розподіл значень критерію Дарбіна — Уотсона залежить від емпіричних спостережень пояснювальних змінних і навіть якщо взяти до уваги цю обставину, можна стверджувати: параметр  для генеральної сукупності має тісний зв’язок з критерієм DW. Якщо  = 1, то значення DW = 0, при  = 0 DW = 2 і при  = –1 значення критерію DW = 4. Наведені співвідношення показують, що існують області, в яких застосування критерію Дарбіна — Уотсона не може дати певних результатів, про що вже було сказано. Верхні та нижні межі критерію DW визначають межі цієї області для різних розмірів вибірки, заданого числа пояснювальних змінних та певного рівня значущості.

Приклад 8.1. Нехай обсяг вибірки складається з 20 спостережень. На основі цієї вибірки побудовано модель, яка включає три пояснювальні змінні. Наведено табличні значення критерію Дарбіна — Уотсона DW₁ і DW₂ для 1 %- і 5 %-го рівня значущості:

DW₁ DW₂

₁ = 1 % 0,77 1,41

₂ = 5 % 1,00 1,68

Для додатної автокореляції залишків ці значення є межами п’яти інтервалів, на основі яких можна прийти до таких висновків:

1) 0  DW  0,77 — нульова гіпотеза відхиляється як при 1 %-му, так і на 5%-му рівнях значущості;

2) 0,77  DW  1,00 — нульова гіпотеза відхиляється при 5 %-му рівні зна­чущості; для 1 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

3) 1,00  DW  1,41 — критерій не дає певних результатів як при одному, так і при іншому рівні значущості;

4) 1,41  DW  1,68 — нульова гіпотеза не відхиляється при 1 %-му рівні значущості, для 5 %-го рівня значущості певних висновків зробити не можна;

5) 1,68  DW  2,00 — нульова гіпотеза не відхиляється при обох рівнях значущості.

Дж. Джонстон [3]наводить ряд спостережень, які свідчать про те, що верхня межа DW₂ ближча до істинної межі прийняття гіпотези, яка перевіряється. тому якщо виникають сумніви, можна обмежитись одним показни­ком — DW₂. Це означає, що сам критерій також може мати зміщення, він указує на наявність серійної кореляції першого порядку і там, де її не повинно бути. Дж. Джонстон зауважує, що оскільки наслідок некоректного прийняття нульової гіпотези може бути набагато серйознішим, ніж наслідок її некоректного відхилення, тому в сумнівних випадках нульову гіпотезу, як правило, краще відхилити. Якщо оцінка критерію DW перевищує 2, то при перевірці нульової гіпотези можна як альтернативну використовувати гіпотезу про існування від’ємної автокореляції першого порядку; у такому разі необхідно відняти відповідні значення від 4 і скористатись тими самими табличними значеннями DW.