11.2. Проблеми ідентифікації

Проблеми чисельної оцінки параметрів в структурній формі і можливість перетворення структурної форми на зведену тісно пов’язані з поняттям ідентифікації моделі.

Означення 11.3. Якщо ніяка лінійна комбінація рівнянь структурної форми не може привести до рівняння, що має ті самі змінні, як і деяке рівняння в структурній формі, то модель буде ідентифікованою.

Для ідентифікації моделей зведена форма визначається однозначно за допомогою співвідношень (11.3). Матриця E – A завжди невироджена. Умова ідентифікації має перевірятися для кожного рівняння системи.

Необхідна умова ідентифікації системи — справедливість нерівності для кожного рівняння моделі (11.1):

(11.10)

де — кількість залежних ендогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми;

m — загальна кількість екзогенних змінних моделі;

— кількість екзогенних змінних, які входять в s-те рівняння структурної форми моделі.

Число екзогенних змінних, які не входять у s-те рівняння структурної форми, дорівнює .

Означення 11.4. Якщо для всіх рівнянь моделі (11.1) співвідно­шення (11.10) виконується як рівність, то система рівнянь є точно ідентифікованою.

Зауважимо, що прoблема ідентифікації стосується структурних параметрів, а не параметрів зведеної форми. Вона може бути сформульована так: чи можна однозначно визначити деякі чи всі елементи матриць A і B, знаючи елементи матриці R?

Запишемо зв’язок між коефіцієнтами структурної і зведеної форм:

або ,

що можна записати як

(11.11)

де і .

Матриця Г має порядок k (r + k) і містить всі структурні коефіцієнти моделі, а матриця W порядку (r + k) k має ранг k.

Якщо перший рядок параметрів матриці Г позначити через a₁, то перше з рівнянь (11.11) можна записати

, (11.12)

де — перший рядок матриці Г. Елементи матриці W можна вважати відомими, бо елементи матриці R завжди допускають обгрунтовану оцінку, а — одинична матриця порядку k. Оскільки ранг матриці W дорівнює k, рівняння (11.12) утворюють систему k незалежних рівнянь з k + r невідомими (елементи вектора ). А це означає, що вектор не може бути однозначно визначений з цієї системи рівнянь.

Введемо апріорні обмеження, які свідчать про те, що окремі елементи вектора дорівнюють нулю і відповідні їм змінні відсутні в першому рівнянні. Ці обмеження можна записати у вигляді

, (11.13)

де містить k + r рядків і по одному стовпцю в кожному обмеженні. Наприклад, для обмеження і маємо:

Означення 11.5. Якщо для всіх рівнянь моделі співвідношення (11.10) виконується як нерівність, то система рівнянь є надідентифікованою.

Оскільки елементи вектора задовольняють (11.12) і (11.13), вони мають задовольняти і співвідношення:

.

Оскільки має k + r елементів, для ідентифікації першого рівняння вимагається, щоб ранг матриці дорівнював k + r – 1. Цього достатньо, щоб однозначно визначити коефіцієнти першого рівняння. Оскільки матриця має k + r рядків і k + r стовпців, де k — число обмежень (тобто число стовпців матриці ), то необхідною умовою для знаходження всіх коефіцієнтів першого рівняння є , тобто число апріорних обмежень має бути не меншим, за кількість рівнянь моделі, зменшених на одиницю. Якщо апріорними обмеженнями є обмеження щодо виключення змінних, то необхідна умова ідентифікації певного рівняння така:

число змінних, які виключені з рівняння, має дорівнювати числу рівнянь моделі мінус одиниця.

Альтернативна умова ідентифікації була записана нами в (11.10):

яка потребує, щоб число виключених із рівняння екзогенних змінних було не меншим, ніж число ендогенних змінних мінус одиниця.