5.2. Множинний коефіцієнт кореляції і детермінації

Тіснота зв’язку загального впливу всіх незалежних змінних на залежну визначається коефіцієнтами детермінації і множинної кореляції.

Щоб дати метод їх розрахунку необхідно показати, що варіація залежної змінної (Y) навколо свого вибіркового середнього значення ( )^* може бути розкладена на дві складові:

1) варіацію розрахункових значень ( ) навколо середнього значення ;

2) варіацію розрахункових значень ( ) навколо фактичних (Y).

Необхідні при цьому обчислення зведемо в табл. 5.2.

Таблиця 5.2

Джерело варіації	Сума квадратів відхилень	Ступені свободи	Середнє квадратів відхилень або дисперсія
Залишок
Загальна варіація

Зауважимо, що всі змінні Y i X взяті як відхилення від свого середнього значення.

Використаємо середні квадратів відхилень (дисперсії) (див. табл. 5.2) і запишемо формулу для обчислення коефіцієнта детермінації:

(5.7)

або, не враховуючи ступенів свободи:

(5.8)

Оскільки у (5.7) задані незміщені оцінки дисперсії з урахуванням числа ступенів свободи, то коефіцієнт детермінації може зменшуватись при введені в модель нових незалежних змінних. Тоді як для коефіцієнта детермінації, обчисленого без урахування поправки (n – 1/m – 1) на число ступенів свободи (5.8), коефіцієнт детермінації ніколи не зменшується. Залежність між цими двома коефіцієнтами можна подати так:

(5.9)

де — коефіцієнт детермінації з урахуванням числа ступенів свободи;

— коефіцієнт детермінації без урахування числа ступенів свободи.

Для функції з двома і більше незалежними змінними коефіцієнт детермінації може набувати значень на множині . Числове значення коефіцієнта детермінації характеризує, якою мірою варіація залежної змінної ( ) визначається варіацією незалежних змінних. Чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних змінних.

Множинний коефіцієнт кореляції:

Він характеризує тісноту зв’язку усіх незалежних змінних із залежною.

Для множинного коефіцієнта кореляції з урахуваннням і без урахуванння числа ступенів свободи характерна така сама зміна числового значення, як і для коефіцієнта детермінації.

Приклад 5.2. Порівняємо коефіцієнти кореляції і детермінації для різних економетричних моделей, побудованих для вихідних даних, наведених у табл. 5.1, на основі покрокової регресії.

Таблиця 5.3

Економетрична модель		з урахуванням числа ступенів свободи		з урахуван-ням числа сту-пенів свободи
	0,811	0,811	0,900	0,900
	0,847	0,828	0,921	0,910
	0,857	0,817	0,926	0,904

З табл. 5.3 бачимо, що з додатковим введенням нової незалежної змінної коефіцієнти детермінації і кореляції без урахування числа ступенів свободи збільшуються, ці самі характеристики з урахуванням числа ступенів свободи для другої моделі, яка має дві незалежні змінні, зростають, а для третьої — з трьома незалежними змінними — вони спадають. Тобто для третьої моделі в результаті введення додаткової змінної зменшення величини не зможе компенсувати збільшення відношення . Зауважимо при цьому, що коефіцієнти детермінації і кореляції без урахування числа ступенів свободи мають більші числові значення, ніж з урахуванням цього числа.

Розглянемо альтернативний спосіб обчислення коефіцієнтів детерміна­ції і кореляції, коли система нормальних рівнянь будується на основі коефіцієнтів парної кореляції .

У такому разі оцінку параметрів моделі можна записати:

(5.10)

де — алгебраїчне доповнення матриці до елемента .

Сума квадратів відхилень (залишків) також може бути виражена через алгебраїчне доповнення матриці :

де — визначник кореляційної матриці. А це, у свою чергу, дає нам альтернативний вираз для коефіцієнта детермінації:

(5.11)

Ще один альтернативний метод розрахунку коефіцієнтів детермінації на основі матриці можна подати у вигляді

(5.12)

Звідси коефіцієнт кореляції

(5.13)