9.6. Запитання та завдання для самостійної роботи

1. Що таке детерміновані і стохастичні пояснювальні змінні?

2. Чи різнитимуться між собою методи оцінювання параметрів та перевірки їх значущості для стохастичних пояснювальних змінних моделі?

3. Що таке асимптотичні властивості оцінок параметрів моделі? Дайте основні визначення.

4. Покажіть обгрунтованість оцінок параметрів моделі при стохастичних пояснювальних змінних.

5. Коли оцінка параметрів моделі 1МНК стає необгрунтованою?

6. Якщо пояснювальні змінні X корелюють із залишками u, то який метод оцінювання параметрів моделі доцільно застосувати?

7. Запишіть оператор оцінювання за методом інструментальних змінних (МІЗ).

8. Які вимоги ставляться до інструментальних змінних? Які властивості має матриця Z ?

9. Запишіть асимптотичну матрицю коваріацій параметрів на основі МІЗ.

10. Опишіть оператор оцінювання Вальда.

11. Назвіть особливості оцінювання методом Бартлета.

12. Дайте характеристику оператору оцінювання Дарбіна.

13. Визначіть оцінку параметрів моделі використовуючи оператор оцінювання Вальда для таких вихідних даних:

Y	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,9	1,9	2,0	1,9	2,0
X	4,2	4,4	4,6	4,8	5,0	5,3	5,6	5,9	6,2	6,5

14. Використовуючи дані завдання 13, визначiть параметри моделі на основі оператора оцінювання Бартлета. Порівняйте здобуті оцінки параметрів з оцінками для завдання 13.

15.Використовуючи дані завдання 13, визначiть оцінку параметрів моделі на основі методу Дарбіна. Порівняйте знайдені оцінки з оцінками завдань 13 і 14.

16. Обчисліть середньоквадратичну помилку оцінок параметрів моделі, знайдених у завданнях 13, 14, 15. На підставі середньоквадратичної помилки зробіть висновок про рівень ефективності оцінок, обчислених за різними алгоритмами МІЗ.

17. Чи буде обгрунтованою оцінка параметрів моделі, коли змінні X мають помилки вимірювання? Відповідь обгрунтуйте.

18. Як визначається величина зміщення параметрів за наявності помилки вимірювання змінних?

9.7. Основні терміни I поняття

Метод інструментальних змінних Стохастичні пояснювальні змінні Асимптотичне математичне сподівання Асимптотична дисперсія Асимптотична матриця коваріацій параметрів

Лагова змінна Помилки вимірювання пояснювальних змінних Оператор оцінювання Вальда Оцінювання методом Бартлета Оператор оцінювання Дарбіна

Розділ 11

Економетричні моделі на основі системи структурних рівнянь

11.1. Системи одночасових структурних рівнянь

Наявність прямих і зворотних зв’язків між економічними показниками вимагає побудови економетричної моделі на основі системи рівнянь.

Приклад 11.1. Нехай треба побудувати економетричну модель, яка характеризує обсяг національного доходу залежно від виробничих ресурсів: основних виробничих фондів, робочої сили і матеріальних ресурсів. У такому разі доцільно будувати економетричну модель на основі системи одночасових структурних рівнянь:

де — внутрішній валовий продукт;

— основні виробничі фонди;

— робоча сила;

— матеріальні ресурси;

— період часу.

Запишемо два перші рівняння аналітично:

де , , , , — параметри моделі, , — залишки.

Отже, економетрична модель складається з трьох одночасових рівнянь, два перших є регресійними, а третє — тотожність. Оскільки вони описують економічні процеси, які відбуваються одночасно, то всі ці рівняння повинні мати спільний розв’язок.

Приклад 11.2. Нехай треба визначити темпи зниження собівартості продукції на підприємстві залежно від темпу росту продуктивності праці і підвищення заробітної плати, задавши при цьому співвідношення між темпами зміни собівартості продукції і заробітної плати на рівні k.

Такий взаємозв’язок можна визначити на основі економетричної моделі, яка також описується системою одночасових структурних рівнянь:

де — індекс зниження собівартості продукції;

— темп росту продуктивності праці;

— темп росту заробітної плати;

u — залишки.

Ця модель містить два рівняння, одне з них є регресійним, а друге — тотожність. Вона може бути доповнена ще двома регресійними рівняннями, які кількісно описуватимуть залежність темпу росту продуктивності праці, темпу росту заробітної плати від основних чинників. Так, наприклад:

;

;

;

.

Ця економетрична модель складається з чотирьох одночасових рівнянь, три перші з яких є регресійними, а четверте — тотожність.

Економетрична модель, яка наведена в прикладі 11.1, застосовується для кількісного вимірювання взаємозв’язку на макрорівні, а модель, що наведена в прикладі 11.2, — на мікрорівні. Згадані моделі є найпростішими, бо в них відсутні лагові змінні.

Повернемося до системи рівнянь економетричної моделі, яка наведена в прикладі 11.1. В перше рівняння цієї моделі доцільно ввести лагову змінну , бо обсяг виробництва продукції в період t залежить від виробництва в попередній період (t–1). Звідси модель запишеться:

А це означає, що залишки в першому рівнянні будуть залежними від Х_t. Така залежність вимагає застосування методів оцінки параметрів моделі, які забезпечили б їх незміщеність за наявності кореляції між і .

Узагальнюючи моделі вище наведених прикладів, можна сказати, що економетрична модель містить сукупність рівнянь, які описують зв’язки між економічними показниками. Взаємозв’язки між змінними можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв’язки реалізуються з деяким рівнем імовірності і описуються регресійними рівняннями. Детерміновані співвідношення виражаються тотожностями і не містять випадкових величин.

Системи одночасових структурних рівнянь, як правило, включають лінійні рівняння. Нелінійність зв’язків здебільшого апроксимується лінійними співвідношеннями. Динаміка економічних зв’язків враховується за допомогою часових лагів, або лагових змінних.

Запишемо економетричну модель на основі системи одночасових рівнянь:

(11.1)

У цій моделі =1. Окремі коефіцієнти ..., , ..., можуть дорівнювати нулю, якщо відповідна змінна не входить до рівняння. Залишки , де s = 1,2, ..., k, також можуть дорівнювати нулю, якщо відповідне рівняння є тотожністю. Систему (11.1) можна переписати в матричній формі

(11.2)

де Y — вектор ендогенних залежних змінних;

X — матриця ендогенних пояснювальних змінних;

u — вектор залишків;

A — матриця коефіцієнтів при змінних Y розміром k ? k;

B — матриця коефіцієнтів при змінних X розміром k ? m;

Змінні, які містяться в правій частині системи рівнянь, є наперед заданими (вхідними) і називаються екзогенними, а змінні, які містяться в лівій частині, знаходяться в результаті реалізації моделі і називаються ендогенними. Отже, змінна у є ендогенною для одного рівняння і одночасно екзогенною для іншого.

Означення 11.1. Економетрична модель у вигляді (11.1) безпосередньо відображає структуру зв’язків між змінними і тому називається структурною формою економетричної моделі.

Розв’яжемо систему рівнянь (11.1) відносно Y і дістанемо систему виду:

(11.3)

У матричній формі систему цих рівнянь можна переписати так:

Матриця оцінок параметрів R має вигляд:

(11.4)

де E — одинична матриця.

Щоб показати справедливість співвідношення (11.4), розв’яжемо систему рівнянь (11.2) відносно Y:

Y – AY = BX + u;

(E – A)Y = BX + u;

Y = (E – A)^–1BX + u.

Враховуючи, що Y = RX + v, R = (E – A)^–1B.

Вектор залишків є лінійною комбінацією залишків .

Означення 11.2. Економетрична модель, яка записується системою рівнянь (11.3), називається зведеною формою моделі.

оскільки економетрична модель складається з системи одночасових рівнянь, то постає запитання: чи можна застосувати для оцінювання параметрів кожного рівняння або системи в цілому ті методи, які були розглянуті в попередніх розділах?

Запишемо просту модель, яка складається з двох рівнянь:

(11.5)

де — споживчі витрати;

— дохід;

— неспоживчі витрати;

— залишки;

— період часу.

Перше рівняння моделі характеризує залежність між споживчими витратами і доходом. Друге рівняння є тотожністю, в якій показано, що дохід визначається як сума двох видів витрат — споживчих і неспоживчих.

Нехай в цій моделі залишки є випадковими,

(11.6)

Z і u незалежні. Для застосування 1МНК треба тільки вирішити питання, чи є незалежними і . Підставивши значення з першого рівняння моделі в друге, дістанемо:

Розв’яжемо його відносно :

Наявність коефіцієнта при свідчить про те, що між і існує залежність. Щоб переконатись в цьому, запишемо:

Таким чином, залишки в моделі (11.5) корелюють з пояснювальною змінною , отже, як і в разі помилок у змінних, безпосереднє застосування до (11.5) 1МНК спричиниться до зміщення оцінок параметрів â₀ і â₁. Це зміщення виникає, коли вибіркова сукупність є скінченною. Але оскільки, що оцінки будуть необгрунтованими, то зміщення збережеться і для великих вибіркових сукупностей.

Щоб визначити величину зміщення, запишемо моменти другого порядку:

Тоді оцінки 1МНК параметрів моделі (11.5) будуть дорівнювати:

Розв’язавши систему рівнянь (11.5) відносно залежних змінних і , дістанемо:

(11.7)

(11.8)

Знайдемо відхилення від середніх:

Підставивши ці значення у формулу моментів, запишемо:

Тоді

На основі прийнятих гіпотез, коли Z і u незалежні, дістанемо:

= 0, .

Додатково вважатимемо, що прямує до деякої константи . Тоді

(11.9)

тобто значення параметра буде завищеним порівняно зі справжнім значенням , де — величина зміщення.