Алгоритм непрямого методу найменших квадратів.

Крок 1. Перевіряється умова ідентифікованості для кожного рівняння структурної форми моделі. Якщо кожне рівняння точно індентифіковане, то переходимо до кроку 2.

Крок 2. Кожне рівняння структурної форми розв’язується відносно однієї з k залежних ендогенних змінних моделі, у результаті приходимо до зведеної форми моделі.

Крок 3. На основі 1МНК визначається оцінка параметрів окремо для кожного рівняння зведеної форми.

Крок 4. Розраховується оцінка параметрів рівнянь структурної форми за допомогою співвідношення AR = –B, де A і B параметри структурних рівнянь, а R — матриця оцінок параметрів зведеної форми.

11.5. Двокроковий метод найменших квадратів (2мнк)

Якщо рівняння структурної форми моделі надідентифіковані, то непря­мий метод найменших квадратів застосувати не можна, а користуватись 1МНК недоцільно, тому необхідно розглянути інші методи, які розроблені спеціально для таких моделей. Одним з цих методів є двокроковий метод найменших квадратів (2МНК).

Розглянемо спочатку ідею методу. Вона полягає в тому, щоб «очисти­ти» поточні ендогенні змінні Y від стохастичної складової, бо вони пов’я­зані із залишками u. Так, на основі моделі (11.5) застосуємо 1МНК для економетричної моделі:

, (11.29)

де

(11.30)

і

.

Згідно з (11.29) обчислюються значення:

(11.31)

На наступному кроці підставляємо ці значення в перше рівняння моделі (11.5) і дістаємо:

. (11.32)

В цьому співвідношенні змінна є функцією змінної Z, яка не корелює із залишками u. Крім того, на основі властивостей 1МНК, значення не корелюють з Z. Звідси, значення не корелюють з комбінованими залишками в рівнянні (11.32). Це дає нам змогу на другому кроці застосувати 1МНК безпосередньо для оцінки параметрів рівняння (11.32) і дістати оцінки параметрів a₀ і a₁. Так, . Із (11.29) маємо , де і z є і , тому

і .

Використаємо (11.30) і отримаємо:

.

Отже, знайдена оцінка збігається з оцінкою непрямого методу найменших квадратів. Тобто, якщо рівняння моделі точно ідентифіковані, то непрямий і двокроковий методи дають однакову оцінку параметрів моделі. Якщо рівняння будуть надідентифікованими, то ці оцінки будуть різними.

Розглянемо двокроковий метод найменших квадратів для загальної економетричної моделі. Нехай окреме рівняння моделі має вигляд

, (11.33)

де Y — вектор ендогенної змінної розміром n  1;

Y₁ — матриця поточних екзогенних змінних, які входять в праву частину рівняння розміром n  r;

— матриця екзогенних змінних розміром n  k (включаючи стовпець одиниць, якщо потрібно визначити вільний член);

a — вектор структурних параметрів розміром r  1, які стосуються змінних матриці ;

b — вектор структурних параметрів розміром k  1, які стосуються до змінних матриці ;

u — вектор залишків розміром n  1.

На першому кроці розв’язуються на основі 1МНК. Заміна елементів матриці Y₁ елементами матриці в рівняннях моделі допоможе звільнитись від кореляції Y₁ і u. Розрахунок елементів матриці виконується на основі співвідношення:

, (11.34)

де .

Матриця X включає всі екзогенні змінні моделі. Матриця X₁ — значення екзогенних змінних даного рівняння. Матриця X₁ — значення екзогенних змінних моделі, які не ввійшли в це рівняння.

На другому кроці знаходиться залежність від Y і X₁. Це приводить до процедури оцінювання параметрів на основі такої системи рівнянь:

(11.35)

де і оцінки параметрів a і b.

Для обчислення оцінок і насправді немає потреби визначати . Можна вивести альтернативне співвідношення для (11.31), коли при знаходженні оцінок параметрів використовуються лише реальні спостереження. Для цього запишемо:

, (11.36)

де V₁ — матриця залишків розміром n  k для регресії . 1МНК дає:

 = 0;  = 0. (11.37)

Тому

і .

Оскільки  = 0, то і  = 0. Отже, рівняння для обчислення оцінок двокрокового методу найменших квадратів можна записати:

(11.39)

Альтернативна форма для (11.35) може бути записана так:

(11.40)

Тепер покажемо, що оцінка двокрокового методу найменших квадратів є обгрунтованою. Скористаємось (11.36) і перепишемо:

, (11.41)

або, об’єднавши матриці і в матрицю Z, дістанемо:

(11.42)

де Z = ( , ) і .

Застосувавши 1МНК для оцінювання параметрів моделі (11.41), запишемо:

.

Звідси ,

врахувавши  = 0, із (11.37) маємо:

. (11.43)

Тому .

Оцінки двокрокового методу можуть бути обгрунтованими, якщо

Оскільки за припущенням не корелює з u, то  = 0.

Використавши коефіцієнти рівнянь , які розраховані 1МНК, запишемо:

.

Тоді при

 = 0,  = 0.

Отже, оцінка парaметрів моделі буде обгрунтованою. З (11.42) запишемо

,

і знайдемо асимптотичну матрицю коваріацій для оператора оцінювання двокроковим методом найменших квадратів. На практиці ця матриця може обчислюватися так:

(11.44)

де

(11.44)