Тема 12: Производная по направлению и градиент 1. Модуль градиента функции нескольких переменных в точке равен …

- правильно

 9

3

Решение: Градиент функции нескольких переменных находится по формуле Тогда  и Следовательно,

2. Модуль градиента функции нескольких переменных  в точке  равен …

- правильно

4

2

Решение: Градиент функции нескольких переменных находится по формуле Тогда  и Следовательно,

3. Производная  по направлению  функции двух переменных  в точке  равна …

- правильно

Решение: Производная  по направлению  функции двух переменных  определяется как  где  и  – направляющие косинусы вектора . Вычислим частные производные в точке       Определив направляющие косинусы    получаем

4. Производная  по направлению  функции двух переменных  в точке  равна …

- правильно

Решение: Производная  по направлению  функции двух переменных  определяется как  где  и  – направляющие косинусы вектора . Вычислим частные производные в точке       Определив направляющие косинусы    получаем

5. Градиент функции  в точке  равен …

- правильно

Решение: Градиент функции нескольких переменных находится по формуле Тогда  и

6. Градиент функции  в точке  равен …

- правильно

7. Производная  по направлению  функции двух переменных  в точке  равна …

– 4,8

– 0,96

Решение: Производная  по направлению  функции двух переменных  определяется как  где  и  – направляющие косинусы вектора . Вычислим частные производные в точке       Определив направляющие косинусы   получаем

Тема 13: Основные методы интегрирования 1. Множество первообразных функции имеет вид …

- правильно

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Разложив знаменатель дробно-рациональной функции на линейные множители, получаем

2. Множество первообразных функции  имеет вид …

- правильно

3. Множество первообразных функции  имеет вид …

- правильно

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции методом интегрирования по частям по формуле  Тогда

4. Множество первообразных функции  имеет вид …

- правильно

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда

5. Множество первообразных функции  имеет вид …

- правильно

Решение: Чтобы определить множество первообразных, вычислим неопределенный интеграл от этой функции. Тогда Произведем замену    

6. Множество первообразных функции  имеет вид …

- правильно

Тема 14: Свойства определенного интеграла 1. Значение определенного интеграла принадлежит промежутку …

- правильно

Решение: Если функция  интегрируема на    и  то Определим наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке . Для этого вычислим производную  и решим уравнение  Тогда  Вычислив    и получаем наименьшее значение  а наибольшее – Следовательно,  или

2. Среднее значение функции  на отрезке  равно …

- правильно

Решение: Среднее значение функции  непрерывной на отрезке  вычисляется по формуле  где  Тогда

3. Для определенного интеграла  справедливо равенство …

- правильно

Решение: Пусть  Тогда  то есть функция  является четной. А определенный интеграл от четной функции  по симметричному интервалу  можно представить как

4. Значение определенного интеграла  принадлежит промежутку …

- правильно

Решение: Если функция  интегрируема на    и  то Определим наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке Так как на этом отрезке справедливо неравенство  то с учетом свойств функции , можем получить, что  и  То есть наименьшее значение  а наибольшее – Следовательно,  или

5. Среднее значение функции  на отрезке  равно …

- правильно

6. Если функция  непрерывна на отрезке  то интеграл  можно представить в виде …

- правильно

7. Определенный интеграл  равен …

0

1

Решение: Пусть  Тогда  то есть функция  является нечетной. А определенный интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю.