6. Сумма числового ряда равна …

- правильно

Решение: Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей  и вычислим n-ую частичную сумму ряда: Тогда

Тема 19: Область сходимости степенного ряда 1. Область сходимости степенного ряда имеет вид …

- правильно

Решение: Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле  где  Тогда  Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид  или Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем сходимость ряда в граничных точках. В точке  ряд примет вид  Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда: В точке  получаем знакочередующийся ряд  для которого  то есть ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда имеет вид

2. Радиус сходимости степенного ряда  равен …

- правильно

Решение: Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле  где Тогда

3. Радиус сходимости степенного ряда  равен …

- правильно

Решение: Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле  где  Тогда

4. Интервал сходимости степенного ряда  имеет вид …

- правильно

Решение: Вычислим предварительно предел  где  а именно Тогда  и интервал сходимости ряда имеет вид  или

5. Для степенного ряда  вычислен предел  Тогда интервал сходимости данного ряда имеет вид …

- правильно

Решение: Интервал сходимости данного ряда определяется как  где    Тогда интервал сходимости данного ряда определяется как  или

6. Интервал сходимости степенного ряда  имеет вид …

- правильно

Решение: Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле  где Тогда Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид  или

7. Радиус сходимости степенного ряда  равен …

- правильно

Тема 20: Ряд Тейлора (Маклорена) 1. Если то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …

- правильно

 3

Решение: Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле  то вычислим последовательно производные:   Тогда

2. Разложение в ряд по степеням  функции  имеет вид …

- правильно

3. Если  то коэффициент  разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен …

– 8

– 16

14

– 4

Решение: Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле  то вычислим последовательно производные:     . Тогда

4. Если  то коэффициент  разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен …

0

1

2

5. Ряд Маклорена для функции  имеет вид …

- правильно

Решение: Так как ряд Маклорена для функции  имеет вид    то при

6. Если  то коэффициент  разложения данной функции в ряд Маклорена равен …

 – 10

10

 6

– 6

Решение: Так как разложение в ряд Маклорена функции  имеет вид  то  или, учитывая, что  получаем

7. Если  то коэффициент  разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням  равен …

- правильно

Решение: Так как коэффициенты данного ряда Тейлора вычисляются по формуле  то вычислим последовательно производные:     Тогда